МОМ 3 курс 4 лекция
advertisement
УЧЕБНОИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ КАК КОМПОНЕНТ СОДЕРЖАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОДЕЛЬ УЧЕБНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Накопление опыта Выдвижение гипотез Общенаучные эмпирические методы: - наблюдение, - сравнение, - анализ. Частные методы: - вычисление, - построение, - измерение, - моделирование. Гипотетикодедуктивные методы: - анализ, - синтез, - аналогия, - неполная индукция, - обобщение, - абстрагирование, - интуиция, - конкретизация, - дедукция. Проверка истинности доказательством Сущность доказательства. Законы логики в доказательстве. Дедуктивные методы доказательства или опровержения: - синтетический, - аналитический, - от противного, - полная индукция, - исчерпывающих проб, -математическая индукция, - контрапозиция, - приведение контрпримера. Специальные методы. Построение теории Выход в практику Аксиоматический метод Математическое моделирование ЭМПИРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ГИПОТЕТИКОДЕДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Аналогия – сходство объектов в некоторых свойствах или отношениях. Объекты, обладающие сходством, называют аналогичными. Аналогия – умозаключение, в котором на основе сходства объектов в некоторых свойствах и отношениях высказывается суждение о сходстве этих объектов в других свойствах или отношениях. Анализ – совокупность мыслительных операций, логический приём, состоящий в разложении изучаемого объекта на характерные для него составные элементы, выделении в нём отдельных сторон, изучении каждого элемента или стороны объекта в отдельности как части целого. Синтез – совокупность мыслительных операций, логический приём, состоящий в соединении элементов (частей) или свойств (сторон) изучаемого объекта, полученных при анализе, в установлении взаимосвязей между частями и получении знания об этом объекте как о едином целом. Неполная индукция (переход от частного к общему) – умозаключение, логический приём мышления, в результате которого информация о некоторых элементах множества распространяется на все элементы множества или на множество в целом. Роль в обучении: 1)изложение материала в учебнике (особенно в младших классах); 2)наводит на догадки; 3)способ отыскания приёмов решения задач. Обобщение – совокупность мыслительных операций, логический приём, состоящий в выделении, фиксировании каких-либо общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений. Абстрагирование – совокупность мыслительных операций, логический приём, состоящий в отделении общих существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных или необщих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание последних. Обобщение – это переход от единичного к общему, от менее общего к более общему. Обратный переход называется конкретизацией. Дедукция – переход от общего к частному, от знания более общих положений к знанию менее общих положений. Как метод обучения включает: 1) обучение дедуктивным доказательствам; 2) обучение построению дедуктивных систем (изложение материала в учебниках старших классов). Дедуктивное умозаключение – получение из одного или нескольких истинных суждений нового суждения на основе правильного применения логических законов. Интуиция – чутьё, догадка, способность постижения истины путём непосредственного её усмотрения без предварительного логического рассуждения. ДЕДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ I. Общелогические: • Синтетический метод Сущность состоит в следующем. Пусть нужно доказать истинность гипотезы «Если А, то С». Из условия А и ранее обоснованных теоретических положений Т выводят следствие В1. Если В1 не совпадает с С или С, то из В1 выводят следствие В2 (при этом могут использоваться А и Т). Так продолжают до тех пор, пока не получат следствие Вn, которое либо совпадает с С, либо противоречит С. Схематически это выглядит так: Если следствие Вn совпадает с заключением С, то истинность гипотезы «Если А, то С» установлена, т.е. имеем теорему. Если Вn – суждение, противоречащее С, тогда гипотеза «Если А, то С» неверна, т.е. это не теорема. Однако очевидно, что теоремой является предложение «Если А, то Вn». • Аналитический метод 1) Восходящий анализ Сущность состоит в следующем. Пусть нужно доказать истинность гипотезы «Если А, то С». Для заключения С подбирают достаточное условие В1, т.е. такое суждение, что В1 С. При этом говорят: «Для того чтобы было истинным С, достаточно чтобы было истинно В1». Если об истинности В1 ничего не известно, то для В1 подбирают достаточное условие В2, т.е. В2 такое, что В В . Так продолжается до тех пор, пока не 2 1 получат для Вn-1 достаточное условие Вn, т.е. В B и В истинно. n n-1 n При построении цепочки используются как условие А, так и теоретические положения Т, связанные с А и С, истинность которых ранее установлена. Схематически это выглядит так: C B1 B2 ... Bn1 Bn A T . • Аналитический метод 2) Нисходящий анализ Сущность состоит в следующем. Пусть нужно доказать истинность гипотезы «Если А, то С». Конструирование цепочки умозаключений начинают со слов: «Предположим, что С истинно». Далее из С выводят логическое следствие В1. Если об истинности В1 ничего сказать нельзя, то из В1 выводят следствие В2. Так продолжают до тех пор, пока не получат суждение Вn, о котором известно, истинно оно или ложно. При выводе следствий используют элементы условия А и теоретические предложения Т, истинность которых ранее установлена. Появляется последовательность логических следствий: С В1 В2 ... Вп . В соответствии с истинностным значением высказывания Вn в нисходящем анализе возможны два случая: Вn - ложно, Вn – истинно. Рассмотрим каждый из этих случаев. 1) Вn – ложное высказывание. Тогда определенно можно сказать, что и С ложно, т.к. из истинного суждения по правилам логики нельзя получить ложное суждение. Этот случай нисходящего анализа, т.е. когда Вn ложно, используется для косвенного доказательства истинности предложений методом от противного. 2) Вn – истинное высказывание. В этом случае об истинности С, а значит, и гипотезы «Если А, то С» ничего утверждать нельзя. Предложение может оказаться как истинным, так и ложным. Чтобы установить истинность гипотезы «Если А, то С» при истинном Вn, следует попытаться обратить цепочку аналитических рассуждений, т.е. провести синтез: ( Вn A) Bn1 Bn2 ... B1 C. Если такое обращение возможно, то истинность гипотезы «Если А, то С» доказана. Если же обращение неосуществимо, то истинность гипотезы остается неустановленной. Надо искать другую цепочку рассуждений. • Метод математической индукции • Метод полной индукции • Метод исключения (метод исчерпывающих проб) • Доказательство по правилу контрапозиции • Приведение примера II. Специальные Они характерны для той или иной темы (нескольких тем).
