Шпоры по ОТУ 15-30
advertisement
15. Корневой готограф Корневым годографом называют геометрическое место корней характеристического уравнения при изменении величины исследуемого параметра от 0 до заданного числа. Представим характеристическое уравнение исследуемой системы в следующем виде: A(p)=R(p)+dQ(p), где d - исследуемый параметр, а R и Qнекоторые полиномы от p, порядка n и k соответственно. На практике обычно строят не сам частотный годограф, а асимптоты, к которым стремятся корни характеристического уравнения при неограниченном увеличении исследуемого параметра системы. Полученную таким образом фигуру называют асимптотическим корневым годографом. Свойства асимптотического корневого годографа: 1. Корневой годограф симметричен относительно действительной оси. 2. Корневой годограф состоит из n-ветвей, выходящих из nнулей уравнения R(p)=0. Из них k-ветвей заканчиваются в нулях уравнения Q(p)=0, а n-k ветвей уходят в бесконечность при неограниченном увеличении значения исследуемого параметра d. 3. Асимптотический корневой годограф представляет собой n-k лучевую звезду с центром в точке x0: при этом лучи звезды делят угол в 360° на равные сектора. 16. области D разбиений Идея метода D-разбиений заключается в разбиении области определения исследуемого параметра на подобласти, каждой из которых соответствует неизменное количество корней характеристического уравнения, принадлежащих правой части комплексной плоскости. Каждая подобласть размечается как D(v), где v– количество корней характеристического уравнения системы, принадлежащих правой части комплексной плоскости. Представим характеристическое уравнение системы в виде: A(p)=R(p)+dQ(p), где d исследуемый параметр, а R и Q- некоторые полиномы от p, порядка n и kсоответственно. Перейдем от комплексной переменной р к чисто мнимому выражению jw, тогда наше уравнение примет вид: A(jw)=R(jw)+dQ(jw)=0. Отсюда: , где w имеет физический смысл частоты. Изменяя w от 0 до ?, построим на комплексной плоскости переменной d, кривую, которая и является границей подобластей. Рис. 7.3. Пример областей D- разбиения, стрелкой показано направление увеличения частоты. Как правило, строят две границы – одна для изменения частоты в пределах от 0 до заданного числа, а другая – для изменения частоты от 0 до заданного числа. Вторая граница может быть получена путем зеркального отображения первой границы относительно действительной оси (рис. 7.3). Если теперь определить количество корней характеристического уравнения, принадлежащих правой части комплексной плоскости, для каждой полученной нами D– области, и нанести это на наш рисунок, то формирование D – областей завершено. При этом вовсе не обязательно применять критерий устойчивости для каждой D – области. Достаточно сделать это один раз, а затем воспользоваться следующим правилом: а) перемещаясь вдоль границы области D – разбиения в направлении увеличения частоты, нанесем на нее штриховку с левой сторону по ходу движения; б) при пересечении границы D – разбиения по направлению штриховки, на комплексной плоскости переменной р один корень характеристического уравнения переходит из правой области в левую; в) при пересечении границы D – разбиения против направления штриховки, на комплексной плоскости переменной р один корень характеристического уравнения переходит из левой области в правую. 17.Теорема Котельникова-Шеннона Процедура преобразования сигнала непрерывного времени x(t) к дискретному виду, квантованному по времени, называется квантованием. Такая процедура отражает как реальные процессы, проходящие в цифровых системах управления, так и математические операции, использующиеся в различных сферах теории информации. В результате квантования получается импульсная последовательность x(kT) (решетчатая функция), которая при t = kT совпадает с исходным сигналом: x(kT) = x(t)|t=kT, и не определена между отсчетами k. Потери информации при квантовании зависят от величины интервала квантования Т (частоты квантования 2p/T). Выбор интервала Т обычно осуществляется из соображений теоретической возможности точного восстановления исходного сигнала по данной дискретной выборке. Согласно теореме Котельникова-Шеннона, если спектр сигнала x(t) ограничен максимальной частотой Wmax, то точное восстановление функции x(t) теоретически возможно при условии, что на одном периоде максимальной частоты в сигнале имеется минимум два дискретных отсчета, т.е. частота квантования должна быть более чем в 2 раза больше наибольшей_частоты Wmax в сигнале: ≥ , T< / . 18. Структурная схема дискретной системы уравнения Структурная схема системы управления в самой общей форме показана на рис. 1.2.1. Рис. 1.2.1. В основе любой системы управления лежит объект управления (ОУ) - управляемый объект или управляемый процесс. Он представляет собой объект или систему произвольной природы, которая изменяет свое состояние под влиянием внешних воздействий: управляющих и возмущающих. Различают следующие типы управляемых объектов: • природные (естественные) - процессы в живых организмах, экологических и экономических системах; • технические - механизмы (роботы, станки, транспортные системы), оптические системы, термодинамические, химические и любые другие производственные процессы. Состояния объекта характеризуется количественными величинами - переменными состояния или координатами, изменяющимися во времени. В естественных процессах это могут быть плотность или содержание определенного вещества в организме или среде обитания, объем выпускаемой продукции, курс ценных бумаг. Изменение состояния объектов управления происходит в результате воздействия на объекты внешних факторов, среди которых выделяют: • управляющие (целенаправленные) воздействия, реализующие программу управления; • возмущающие (дестабилизирующие) воздействия, препятствующие желаемому протеканию управляемого процесса, вызывающие нежелательное изменение его состояния. Цель управления - изменение состояния объекта в соответствии с определенной заданной программой (законом). Для достижения объектом цели управления организуется специальное внешнее воздействие, которое формируется управляющим устройством (блоком управления) по известному алгоритму или закону управления на основе сигналов задающего воздействия (задания) и воздействия обратной связи. Совокупность указанных элементов, связей и отношений между элементами системы управления образует структуру системы управления. Наличие возмущений приводит к тому, что реальное состояние объекта всегда отличается от заданного. Величина этого различия зависит от эффективности работы системы управления, от взаимодействия элементов системы в ходе выполнения задания, и оценивается показателями качества управления. Физически управление объектом реализуется с помощью блоков управления и блоков контроля. Блок контроля - это комплекс средств оценивания состояния управляемого процесса и/или внешней среды. К таким средствам относятся органы чувств живых организмов, статистические службы экономических систем, технические измерительные устройства (датчики), соответствующие вычислительные средства (природные или технические), обеспечивающие первичную обработку полученной информации. Комплекс элементов оценивания состояния объекта называется системой контроля. Она может быть как самостоятельной системой, так и входить в состав системы управления. Оценка состояния используется для управления объектом по цепи обратных связей и реализации принципа замкнутого управления. Блок управления вырабатывает управляющее воздействие на объект с учетом задания и информации о текущем состоянии объекта. К блокам управления можно отнести: • нейронные системы живых организмов; • природные регулирующие факторы; • искусственные средства, как технические (механические, электрические, ЭВМ и нейронные процессоры), так и человеческие (операторы, организаторы). В зависимости от природы можно выделить биологические, экологические, экономические и технические системы управления. 19. Импульсное звено Звено, преобразующее непрерывный входной сигнал в последовательность импульсов, называется импульсным элементом или импульсным модулятором. Если последующее звено системы тоже дискретное, то для него не только выходная, но и входная величина будет дискретно (импульсной). К дискретным автоматическим системам относятся импульсные истемы (т. е. системы с импульсным элементом), а также системы с цифровыми вычислительными устройствами. В качестве импульсного звена (элемента) может использоваться падающая дужка гальванометра. Кроме того, импульсным звеном может служить устройство типа ключа, которое (как и падающая дужка) по какой-то внешней причине производит замыкание цепи короткими импульсами через равные промежутки времени. Отличие импульсного звена типа ключа от импульсного звена типа падающей дужки состоит в тому что оно вырезает определенные участки из непрерывно изменяющегося воздействия. 20 Передаточная функция дискретной системы Передаточная функция дискретной системы это отношение дискретного преобразования выходной величины к дискретному преобразованию входной величины при нулевых начальных условиях. Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи, цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал. В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях. Дискретная передаточная функция Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть — входной дискретный сигнал такой системы, а — её дискретный выходной сигнал, . Тогда передаточная функция в виде: такой системы записывается где и — z-преобразования для сигналов и соответственно: 21. Устойчивости дискретных систем. Ранее было установлено, что для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все полюса передаточной функции принадлежали левой части комплексной плоскости. Для проверки этого условия необходимо приравнять нулю знаменатель передаточной функции, и решить полученное уравнение. Полученное таким образом уравнение называют характеристическим уравнением системы. Однако точное решение таких уравнений, в случае высокого порядка (а точнее больше 4-го) весьма затруднительно. Поэтому используют специально разработанные процедуры, которые называют критериями устойчивости. Они позволяют, не решая характеристическое уравнение, ответить на вопрос, устойчива ли система. Рассмотрим два алгебраических критерия – критерий Гурвица и критерий Раусса, а также два частотных критерия – критерий Михайлова и критерий Найквиста. 22. Критерий устойчивости дискретных систем. Существуют несколько критериев устойчивости дискретных систем: Шура-Кона, Михайлова и т.д. Критерий Шура-Кона – для устойчивости дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы все λi по модулю были меньше 1. Критерий Михайлова - для устойчивости дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы годограф михайлова при изменении частоты последовательно обходил 2n квадраов. Критерий Гурвица Критерий устойчивости Гурвица можно использовать при применении билинейного преобразования. Рассмотри алгоритм его использования. Записываем характеристическое уравнение D(z) = 0 2. Выполняем .(5) подстановку , при этом получим характеристическое уравнение D(w) = 0, т. е. в форме билинейного преобразования 3. Составляем определитель (6) Гурвица (7) 4. Определяем устойчивость также как и для непрерывных систем. Линейная дискретная система устойчива, если при определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны. Рассмотрим частные случаи. При n = 1 характеристическое уравнение имеет вид Условие устойчивости: a0 > 0, a1 > 0, а также: a0 - a1 > 0. При n = 2 характеристическое уравнение имеет вид Условие устойчивости: a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, а также: a0 - a1 + a2 > 0, a0 - a2 > 0. 23. Построение выходного сигнала в дискретной системе При разработке цифрового генератора импульсов необходимо учитывать: - быстродействие схемы формирования сигнала (аналоговая часть). - скорость вычисления амплитуды следующей точки (цифровая часть). линейность преобразования. разрядность. - максимальное и минимальное выходное напряжение. - наличие выбросов при смене кода. - стабильность и прочие параметры. Способ преобразования аналоговых сигналов в цифровые заключается в преобразовании исходного аналогового сигнала, дискретизированного на заданных временных интервалах, в первую последовательность цифровых сигналов, величины которых соответствуют величинам амплитуд исходного аналогового сигнала на заданных временных интервалах, в первую последовательность цифровых сигналов, величины которых соответствуют величинам амплитуд исходного аналогового сигнала на заданных временных интервалах, формировании последовательности адресных сигналов и последовательности эталонных цифровых сигналов, каждый из которых соответствует одноименному адресному сигналу, отличающийся тем, что эталонные цифровые сигналы формируют в соответствии с линейным изменением амплитуды исходного аналогового сигнала и формируют выходную последовательность цифровых сигналов из эталонных цифровых сигналов, адресные сигналы которых соответствуют цифровым сигналам первой последовательности. 25. Эргодическая Регулярная стохастическая Конечная стохастическая теорема матрица матрица называется регуля́рной, если cуществует такое , что , где элементы n-ой степени матрицы P, то есть . Эргодическая теорема Если P - регулярная стохастическая матрица, то найдется вектор такой, , где размерности что - вектор , состоящий из единиц. 26. Корреляционная функция Корреляционная функция R(τ) случайной функции x(t) - есть среднее значение произведения двух значений этой функции, сдвинутых на определенный промежуток времени τ, т.е. Rx(τ) = M[x(t) x(t+τ)]. Вследствие инерционности любой САУ случайный процесс не может изменяться бесконечно быстро, т.е. текущее значение случайной функции x(t) не является совершенно не зависимой величиной, а в какой-то степени в среднем зависит от предшествующего ее значения или, как говорят, коррелировано с ним. Корреляционная функция служит мерой этой зависимости. Она тем больше, чем меньше последующее значение данной случайной функции x(t+τ) в среднем отличается от ее текущего значения x(t). Максимальное значение ее при τ=0, когда x(t+τ) = x(t), или Rx(0)=M[x2]. И всегда Rx(τ) < Rx(0) (рис.1). 24. Понятие случайного процесса, его характеристики Случайным процессом называется случайная функция параметра от действительного при фиксированном В приложениях часто является временем, например, процессами являются скорость снаряда через время после выстрела, число бактерий в популяции в момент времени давление в камере сгорания теплового двигателя. Если множество конечно, то определение процесса равносильно определению многомерной случайной величины. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретным временем или случайной последовательностью, если конечно или счетно: Для процесса с дискретным временем обозначим и — функция величин распределения случайных Рис. 1. Корреляционная функция случайного процесса Основные свойства корреляционной функции стационарного случайного процесса : 1) корреляционная функция является четной функцией, т.е. R(τ)=R(-τ); 2) при τ=0 корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины 27. Спектр случайного процесса В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье. Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами. Если процесс x(t) имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты: 28. Статистическая оптимальная система Статистические критерии оптимальности в отличие от детерминированных критериев, зависящих только от номинальных значений внутренних параметров, основаны на использовании статистических характеристик схемы. Одним из примеров такого критерия является процент выхода годных схем: отношение числа схем, удовлетворяющих техническим требованиям, к общему числу изготовленных схем. Наиболее общие статистические критерии оптимальности были выработаны в математической теории планирования эксперимента. Вследствие этого выводы и рекомендации традиционного планирования экспериментов ( без учета статистики эффекта) имеют ограниченную применимость для радиационно-физических экспериментов. С другой стороны, в работах, рассматривавших оптимизацию ИКСИ ионизирующих излучений, в спектрометрии нейтронов по времени пролета [244, 258], радиационной интроскопии [204, 259-261], радиационной дефектоскопии, а также в оптике [262] использовались критерии оптимальности, не обладающие достаточной общностью для характеристики сложных объектов, а выбранный класс кодирующих устройств был весьма узок. При поступлении на вход САУ задающего воздействия a ( t) и помехи n ( f), являющихся случайными функциями, правильный выбор системы может быть основан на статистическом критерии оптимальности. 30. Решение дифференциального уравнения состояния, переходная матрица. Переходная матрица для стационарных систем зависит от разности своих Если оптимизация ведется без учета статистического разброса характеристик, то соответствующий критерий оптимальности называют детерминированным критерием, если разброс параметров учитывается, то имеем критерий статистический. Статистические критерии оптимальности более полно отражают представление о качестве объектов проектирования, однако их использование, как правило, при автоматизированном проектировании ведет к значительному увеличению затрат машинного времени. САУ, в которых обеспечивается теоретически возможный для данного объекта минимум критерия оптимальности при каждой реализации процесса управления. Рассмотрим статистические критерии оптимальности, применяемые при синтезе статистически оптимальных систем. Часто для этих целей берут средние значения критерия оптимальности, выбранного для оценки отдельных реализаций процесса и используемого в детерминированной задаче. (4)-экспоненциальный раскладывается 29. Общие понятия метода пространства состояний Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение ее состояний. В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. аргументов и если учесть такое понятие, как сдвиг во времени,то и записать соотношения для переходной матрицы по первому аргументу в следующем виде: Из соотношения следует, что можно представить переходную матрицу, как функцию одного аргумента . Тогда формула Коши-Лагранжа будет иметь следующий вид: Формальным решением (1) благодаря тому, что А не зависит от времени будет следующий матричный ряд: Для проверки достаточно, продифференцировать. Ряд из (3) сходится абсолютно, равномерно при всяких конечных . Если этот ряд записать в скалярном виде, мы получим ряд вида: где ряд,в который матричная экспонента. Таким образом, переходную матрицу для стационарных систем называют матричной экспонентой(свойства матричной экспоненты). Переходную матрицу также можно определить с помощью преобразования Лапласа: Таким образом, переходная матрица во временной области является оригиналом изображения обратной характеристической матрицы системы .
