PPTX 454kb

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Бусыгин Сергей 8 класс «А»
Зачем людям считать?
« Мир построен на силе чисел.»
ПИФАГОР
• Учиться считать люди начали в незапамятные времена, а
учителем у них была сама жизнь.
• Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой.
• На крупного зверя – бизона или лося – приходилось охотиться
всем племенем.
• Чтобы добыча не ушла, ее надо было окружить, но вот хотя бы
так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева.
• Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как “пять”
или ”семь”, он мог показать числа на пальцах рук.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
•
•
•
•
Система счисления - это знаковая система, в которой числа
записываются по определенным правилам, с помощью
символов некоторого алфавита.
Символы алфавита, которые используют для записи чисел,
называют цифрами.
Числа:
123, 45678, 1010011, CXL
Цифры:
0, 1, 2, …
I, V, X, L, …
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Цель создания системы счисления - выработка наиболее
удобного способа записи количественной информации
Удобная система счисления должна обладать следующими
свойствами:
простота и краткость записи на материальном носителе.
однозначность представления
удобство выполнения арифметических операций над числами в
предложенной записи
легкость и наглядность обучения основам работы с числами.
ВИДЫ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
• Все системы счисления делятся на две большие группы:
позиционные и непозиционные.
ПОЗИЦИОННЫЕ
НЕПОЗИЦИОННЫЕ
Это такие системы счисления, в
которых величина, которую
обозначает цифра в записи числа,
зависит от положения цифры в
этом числе.
Это такие системы счисления, в
которых величина, которую
обозначает цифра в записи
числа, не зависит от положения
цифры в этом числе.
Например: 10-, 2-, 3-, 8-, 16-чная и
т.д.
Например: римская система
счисления: числа IV, IIX, XIV и т.д.
• Основание системы счисления - это количество цифр в алфавите.
• Наименьшее возможное основание позиционной системы счисления
равно 2. Такая система называется двоичной.
НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ
Искусство счета развивалось с развитием человечества. В те времена, когда человек лишь
собирал в лесу плоды и охотился, ему для счета хватало четырех слов: один, два, три и
много.
Однако, когда люди начали заниматься животноводством и земледелием, то им уже стало
необходимо пересчитывать коз в стаде или количество корзин с выращенными плодами
(которых было больше трех), заготовленных на зиму.
Способов счета было придумано немало:
Делались зарубки на палке по числу предметов;
Завязывались узлы на веревке;
Складывали в кучку камешки.
Это было не всегда удобно. И тут на помощь приходят пальцы рук. А если предметов больше десяти? Тут уже ничего
не оставалось делать, как придумать десятичную систему.
Но не все народы пошли по этому пути. Индейцы племени майя в Америке считали пятерками.
Некоторые племена использовали только четыре пальца одной руки, однако при этом учитывали, что каждый палец
состоит из трех фаланг, т.е. имели в распоряжении двенадцать объектов счета. Так возникла дюжина, которая сто лет
назад была широко распространена ив Европе, и в России, но постепенно уступила свое место десятке. До сих пор в
Европе дюжинами считают пуговицы, носовые платки, куриные яйца и многое другое, что продается поштучно.
Заметим, что с математической точки зрения двенадцатеричная система имела бы, пожалуй, некоторые
преимущества перед десятичной, поскольку число 12 делится на 2, 3, 4 и 6, а число 10 только на 2 и 5, а больший
запас делителей, у числа, служащего основанием системы счисления, создает известные удобства в ее
использовании.
НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
• Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день,
1 камень, 1 баран, …)
• Римская:
I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони), L – 50,
C – 100 (Centum),
D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В
КУЛЬТУРЕ
Индо-арабская система счисления
Алфавитные системы счисления
Восточноазиатские системы
счисления
Другие системы
Арабская
Индийские
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаоская
Монгольская
Тайская
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Эфиопская
Еврейская
Катапаяди
Вавилонская
Египетская
Этруская
Римская
Аттическая
Кипу
Майская
ВАВИЛОНСКАЯ СИСТЕМА
•
•
Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская
нумерация (система счисления) была шестидесятеричной, т.е. в ней использовались шестьдесят цифр!
Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60.
Но для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали новый принцип – одно из
самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел – принцип позиционности, т.е.
зависимости значения символа от его местоположения в записи числа. Вавилоняне заметили, что в
качестве коллективных символов более высокого порядка можно применять уже ранее использованные
символы, если они будут занимать в записи числа новое положение левее предыдущих символов. Так,
один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 602, и 603, в зависимости от
занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях
используется в записях и 10, и 102, и 103, и в числе 1111. При обозначении чисел больше 60 знаки,
выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на «места», или
«позиции», и единицы более высокого порядка располагались слева. При таком способе записи для
обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных.
Древнем Вавилоне, ок. 1650 до н.э., система счисления оставалась псевдопозиционной или лишь
относительно позиционной, поскольку не существовало эквивалента современной десятичной запятой,
равно как и символа для обозначения отсутствующей позиции.Однако в период правления селевкидов, ок.
300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух
небольших клиньев, помещаемого на пустующее место, т.е. обозначающего пустую позицию в записи
числа. Таким образом, из системы счисления была устранена отмеченная выше неоднозначность. В то же
время не было найдено ни одной таблички с записью, в которой символ нуля находился бы в конце числа.
Именно поэтому вавилонскую систему мы считаем лишь относительно позиционной, ибо самый правый
знак мог означать либо единицы, либо кратные какой-нибудь степени числа 60. Тем не менее изобретение
вавилонянами позиционной системы счисления с нулем представляло собой огромное достижение, по
своему революционному значению для математики сопоставимое разве лишь с более поздней гипотезой
Коперника в астрономии. Символы для обозначения чисел на вавилонских глиняных табличках не столь
точны, как символы для обозначения чисел на древнеегипетских папирусах, несмотря на то, что
вавилоняне использовали позиционный принцип. В исключительных случаях вавилоняне применяли
сокращенные формы записи, иногда – с новыми символами для обозначения чисел 100 и 1000, или
использовали принципы умножения или вычитания. Однако превосходство разработанной в Месопотамии
системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые
символы. Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе
подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте –
величины кратные 1/602 и т.д. Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут,
а одной минуты – на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления.
ЕГИПЕТСКАЯ СИСТЕМА
•
Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой
династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что
иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на
каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне
использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали
одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было
поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Чтобы записанные
таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда
объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10,
основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый
коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или
крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число
100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять
силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением
лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов
согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять
волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне
могли представлять числа до миллиона. Самые древние из дошедших до нас
математических записей высечены на камне, но наиболее важные
свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены
на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких
документа – папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и
московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для
нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и
геометрии.
ДРЕВНЕГРЕЧЕСКАЯ СИСТЕМА
•
В Древней Греции не стали выдумывать специальные
значки для цифр, а использовали буквы. Единицу
обозначали буквой А, двойку- В, тройку – Г. Заметили,
что греческий алфавит похож на русский. Славянский
алфавит был создан на основе греческого монахами
Кириллом и Мефодием, приверженцами «греческой»,
т.е. православной веры. Чтобы не путать числа с
буквами, над ними ставили черточку. Вместе с
алфавитом эта система записи чисел пришла в
Древнюю Русь. Правда, вместо черточки на Руси
ставили волнистую линию – титло.
•
Ионическая система первоначально не сильно потеснила уже установившуюся аттическую или
акрофоническую (по начальным буквам слов, означавших числительные) системы исчисления. Повидимому, официально она была принята в Александрии во времена правления Птолемея
Филадельфийского и в последующие годы распространилась оттуда по всему греческому миру,
включая Аттику. Переход к ионической системе счисления произошел в золотой век
древнегреческой математики и, в частности, при жизни двух величайших математиков античности.
Есть нечто большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед и Аполлоний
работали над усовершенствованием системы обозначения больших чисел. Архимед, придумавший
схему октад (эквивалентную современному использованию показателей степени числа 10) гордо
заявлял в своем сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок»), что может численно выразить
количество песчинок, необходимых для того, чтобы заполнить всю известную тогда Вселенную.
Изобретенная им система обозначения чисел включала число, которое ныне можно было бы
записать в виде единицы, за которой следовало бы восемьдесят тысяч миллионов миллионов
цифр.
ДРЕВНЕИНДИЙСКАЯ СИСТЕМА
•
•
•
•
•
Индийские цифры возникли в Индии не позднее V века. Тогда же было открыто и
формализовано понятие нуля (шунья), которое позволило перейти к позиционной
записи чисел.
Арабские и индо-арабские цифры являются видоизменёнными начертаниями
индийских цифр, приспособленными к арабскому письму.
Индийскую систему записи широко популяризировал учёный ал-Хорезми, автор
знаменитой работы «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала», от названия которой
произошёл термин «алгебра».
Арабские цифры стали известны европейцам в X веке. Благодаря тесным связям
христианской Барселоны (Барселонское графство) и мусульманской Кордовы
(Кордовский халифат), Сильвестр II (папа римский с 999 по 1003 годы) имел
возможность доступа к научной информации, которой не имел никто в тогдашней
Европе. В частности, он одним из первых среди европейцев познакомился
с арабскими цифрами, понял удобство их употребления по сравнению с римскими
цифрами и начал всячески пропагандировать их внедрение в европейскую науку.
Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает
число углов в ней.
Например:
0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д.
Какие системы счисления
сложились исторически?
• Мало кто знает, что Базельский Собор 1431 г.
занимался, в числе главных вопросов, проблемой
календаря, а вопрос о единой системе счисления
вообще впервые поставил именно на нем в своем
докладе выдающийся ученый (математик и
астроном) кардинал Николай Кузанский. Опираясь на
данные лучшего к тому времени звездного каталога
Улугбека, он убедительно доказал, что без введения
десятиричной системы счисления, самой удобной
для наглядного обучения (!), в обозримом будущем
возникнет катастрофическая проблема “обнуления
астрономического счетчика”.
ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА
• Позиционная система: значение цифры определяется ее
позицией в записи числа.
• Десятичная система:
первоначально – счет на пальцах
изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу
• Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Основание (количество цифр): 10
сотни десятки единицы
2
1
0
3 7 8 = 3·102 + 7·101 +
8·100
300
70 8
•
Другие позиционные системы:
– двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
– двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
– двадцатеричная (1 франк = 20 су)
– шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В КОМПЬЮТЕРЕ
Какую же числовую систему удобно положить в основу компьютера?
С точки зрения человека, конечно, лучше всего традиционная десятичная
система.
Но вот технически реализовать ее на ЭВМ крайне сложно: для хранения
десятичной цифры требуется устройство с десятью устойчивыми
состояниями!
Разработать такую электрическую схему можно, но она будет достаточно
сложной и дорогой (не забывайте, что таких элементов потребуется
огромное количество!).
Для инженеров наиболее просто реализовать двоичный элемент:
включено/выключено,
горит/не горит, проводит/не проводит и т.д.
Кроме того, в двоичной системе наиболее просто реализуются все
операции.
Но у двоичной системы счисления есть один существенный недостаток –
громоздкость.
В самом деле, относительно скромное десятичное число 254 в двоичной
системе имеет
вид 1111 1110, а 16 384 выглядит прямо-таки устрашающе: 100 0000 0000
0000 (14 нулей).
ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Двоичная система:
Алфавит: 0, 1
Основание (количество цифр): 2
10  2
19
18
1
2
9
8
1
2
4
4
0
2
2
2
0
2  10
43210
19 = 100112
2
1
0
система
счисления
2
0
1
разряды
100112 = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19
ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ
10  2
2  10
0,375 = 0,0112
0,7 = ?
0,7 = 0,101100110…

2
= 0,1(0110)2
0 ,750
0,75
Многие дробные числа нельзя представить в
виде конечных двоичных дробей.
 2
1 ,50
Для их точного хранения требуется
бесконечное число разрядов.
0,5
 2
Большинство дробных чисел хранится в
1 ,0
памяти с ошибкой.
2-2 =
1
22 = 0,25
2 1 0 -1 -2 -3 разряды
101,0112 = 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3
= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375
ВОСМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА
Основание (количество цифр): 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10  8
100 8
96 12 8
8 1
4
4 0
100 = 1448
8
0
1
8  10
210
разряды
1448 = 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100
система
счисления
ПЕРЕВОД ЧИСЛА В
ДЕСЯТИЧНУЮ СС
Для перевода целого числа из любой СС в десятичную, необходимо его
записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и
соответствующей степени основания, и вычислить по правилам десятичной
арифметики.
СООТВЕТСТВИЕ ЧИСЕЛ, ЗАПИСАННЫХ В
РАЗНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
Десятичная
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
1
001
1
1
2
010
2
2
3
011
3
3
4
100
4
4
5
101
5
5
6
110
6
6
7
111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
ТРОИЧНАЯ УРАВНОВЕШЕННАЯ
СИСТЕМА
Задача Баше:Найти такой набор
из 4 гирь, чтобы с их помощью на
чашечках равноплечных весов
можно было взвесить груз массой
от 1 до 40 кг включительно. Гири
можно располагать на любой чашке
весов.
• + 1 гиря справа
•
0 гиря снята
• – 1 гиря слева
• Веса гирь:
– 1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг
• Пример:
– 27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг =
40 кг