МОУ «Средняя общеобразовательная школа №1» г. Кольчугино

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №1»
г. Кольчугино Владимирской области
Исследовательский проект
на тему:
«Наибольший общий делитель и наименьшее общее
кратное, и их практическое применение».
Автор работы: Никонова Мария Алексеевна,
ученица 6 б класса
Консультант: Светлова Татьяна Михайловна,
учитель математики
I квалификационной категории
Кольчугино 2012 г.
Первое знакомство с данными понятиями произошло на уроках математики. Мне эта тема
показалась очень интересной, поэтому я изучила имеющуюся литературу, историю применения и
использования НОД и НОК.
(слайд 2)
Цель работы: создать целостное представление о понятиях НОД и НОК.
Задачи:
1.
Систематизировать ранее полученные знания о НОД и НОК.
2.
Расширить спектр задач по теме.
3.
Исследовать практическое применение НОД и НОК и их историю.
(слайд 3)
Что такое НОД
Наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из данных целых чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел. Для чисел а 1 , а2 , …, аn он обозначается (а 1 , а2 , …,
аn).
Например: (28, 21) = 7, (60, 27, 42) = 3.
(слайд 4)
Чтобы найти НОД(m,n), числа m и n разлагают на простые множители и подчеркивают
общие множители двух разложений. Затем все подчеркнутые множ ители одного из чисел
выписывают отдельно и перемножают. Получающееся произведение и будет наибольшим
общим делителем данных чисел.
Например, 7 2 = 2 2 2 3 3 , 9 6 = 2 2 2 2 2 3 , значит, НОД(72,96) = 2 2 2 3 = 24.
(слайд 5)
Алгоритм Евклида
Также для того чтобы найти наибольший общий делитель двух целых чисел, можно
воспользоваться алгоритмом Евклида.
Алгоритм Евклида - это способ нахождения набольшего общего делителя двух целых чисел, а
также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков.
Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала
большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления,
потом первый остаток - на второй и т.д. Последний ненулевой положительный остаток в этом
процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.
(слайд 6)
Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более 2 тыс. лет. Этот алгоритм сформулирован
в «Началах» Евклида.
По алгоритму Евклида можно найти НОД чисел 777 и 629.
Пусть а = 777, b = 629. Тогда 777 = 629 1 + 148, 629 = 148 4 + 37, 148 = 37 4. Последний
ненулевой остаток 37 и есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.
(слайд 7)
Алгоритм Евклида имеет много применений:

позволяет находить решения диофантовых уравнений 1-й степени с двумя
неизвестными (диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения с целыми
коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения). Решение уравнений в
целых числах очень увлекательная задача.

так же алгоритм Евклида является средством для представления рационального числа в
виде цепной дроби, что хорошо представлено в системах календаря.
(слайд 8)
Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел оказывается полезным при
сокращении дробей: после сокращения на наибольший общий делитель числителя и знаменателя
полученная дробь будет уже несократимой
(слайд 9)
Наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из данных целых чисел, называется
наименьшим общим кратным этих чисел. Для чисел а 1 , а2 , …, аn оно обозначается [а 1 , а2 , …, аn].
Например [4, 6] = 12, [21, 42, 63] = 126.
(слайд 10)
При сложении дробей мы обычно приводим их к общему знаменателю, который является
наименьшим общим кратным знаменателей данных дробей.
Наименьшее общее кратное можно найти при помощи разложения чисел на простые
множители. Разложим данные числа на простые множители и подчеркнем общие множители
двух разложений. Произведение всех неподчеркнутых множителей первого (второго) числа
называется дополнительным множителем второго (первого) числа. Если теперь любое из
данных чисел умножить на его дополнительный множитель, то получится наименьшее
общее кратное данный чисел. Например, 40 = 2 2 2 5, 150 = 2 3 5 5. Видно, что
дополнительный множитель для 150 равен 2 2. т.е. 4, а дополнительный множитель для 40
равен 3 5, т.е. 15. Тогда НОК(40,150) = 150 4=600. Или иначе: НОК(40,150) =40 15=600.
(слайд 11)
Применение НОД И НОК
(слайд 12)
1.
Я и моя подруга Юля решили купить одинаковые наборы. Каждый набор
состоит из открытки с конвертом. Я заплатила за наборы 65 руб., а Юля - на 26 руб. больше.
Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила Я? А Юля?
(слайд 13)
2.
У моей московской подруги Оли родители работают водителями трамваев: мама
на маршруте «А», папа на «Б». Один рейс маршрута «А» длится 48 мин, а маршрута «Б» 72
мин. У этих маршрутов есть общая конечная станция, и вскоре после начала работы вагоны
подошли к ней одновременно. Через какое время Олины родители снова встретятся на этой
станции?
(слайд 14)
3.
По плану парада физкультурники сначала должны маршировать строем по 12
человек в шеренге. Потом они должны перестроиться в колонну по 18 человек в шеренге.
Сколько физкультурников нужно пригласить для участия в параде?
(слайд 15)
4.
Если мы хотим сделать ремонт в комнате - надо знать ее длину и ширину.
Например, длина нашей комнаты 575 см, а ширина 375 см. Пол в комнате нужно выложить
декоративными плитками в форме квадрата. Каков наибольший возм ожный размер такого
квадрата? Сколько плиток такого размера, понадобится?
(слайд 16)
На итоговой аттестации (на экзаменах) в 11 классах по математике в задания части
«С» включены упражнения на более глубокое знание исследуемой темы . Примеры четырех
таких заданий представлены на слайде и учащимся старших классов я предлагаю их решить.
1.
Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых
равно 78, а наибольший общий делитель равен 13.
2.
Найдите все пары натуральных чисел, разность которых 66, а наименьшее
общее кратное равно 360.
3.
Натуральные числа a,b и с таковы, что НОК(a,b) = 60, НОК(a,c) = 270 (НОК(x,y)
- наименьшее общее кратное чисел х и у). Найдите НОК(b,с).
4.
Каким может быть наибольший общий делитель натуральных чисел m и n, если
при увеличении числа m на 6 он увеличивается в четыре раза?
(слайд 17)
Ответы:
1.
2.
3.
4.
13 руб., 5 наборов, 7 наборов;
3 ч. 24 мин.;
36 или 72, или 108…;
25 см, 345 плиток.
Часть
1.
2.
3.
4.
С
78 и13 или 26 и 29;
90 и 24;
108 или 540;
2 или 6.
(слайд 18)
Этот материал можно использовать

учителям на уроках математики и во внеклассной работе;

учащимся, кто увлекается математикой для расширения своего кругозора;

а также при подготовке выпускников к ЕГЭ.
Более подробно с данной работой вы можете познакомиться на сайте «Первое сентября» в разделе
«Фестиваль исследовательских работ учащихся «Портфолио».
Литература:
1.
Ванцян А.Г. Математика: Учеб. для 5 кл. – Самара: Корпорация «Федоров», 2000. - 216
с.
2.
Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н.Я. Виленкин и др.] 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2010. - 288 с.
3.
Единый государственный экзамен 2011. Математика. Универсальные материалы для
подготовки учащихся / ФИПИ - М.: Интеллект-Центр, 2011. - 96 с.
4.
Математика: Школьная энциклопедия / гл. ред. Никольский С.М. - М.: Научное изд.
«Большая Российская энциклопедия», 1996
5.
Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1985. –
352 с.