Интегрирование оригинала

Преобразования
Лапласа
(2)
Таблица преобразований Лапласа
Оригинал
Изображение
a  const
a p
e
t
1  p  
 t 
1 p
e t
1 p  
t
1 p2
cos t
t
Оригинал
n
n! p
n 1
sin t
t
1 p 1
cht
e
Изображение

 p
p p
p p2   2
2

2
2

2



Интегрирование оригинала
Интегрирование оригинала сводится к делению
изображения на p
f t   F  p
t

0
F  p
f  d 
p
Пример
Найти изображение для функций
t

e
 d
0
t
 cosd
0
Интегрирование изображения

Если интеграл
 F  p dp
сходится,
p
то он служит изображением функции
f t 
  F  p dp
t
0

f t 
t
Пример
Найти изображение для функции
sin t
t
Теорема смещения
Если f t   F  p
то для любого комплексного p0
e p0t f t   F  p  p0 
Пример
Найти изображение для функций
f t   e cos 2t
t
f t   e sin t
3t
2
Теорема запаздывания
Если f t   F  p
то для любого положительного 
f t     e  p  F  p 
Удобно использовать при отыскании изображения
функций, которые на разных участках задаются
разными аналитическими выражениями.
Пример
Найти изображение для функций
f t  1  t  1  t  1
2
Теорема о свёртке (умножения)
Произведение двух изображений
F  p
и
 p 
также является изображением, причем
t
F  p  p    f   t   d
0
Пример
Найти изображение для функций
t
 t    t   e d
0

Нахождение оригинала по
изображению
Q p 
Если F  p  
R p 
правильная рациональная дробь,
то разлагают эту дробь на сумму простых дробей
и для каждой находят соответствующее
изображение.
Пример
Найти оригинал для функции
1
F  p 
2
p p  1 p  4


Решение задачи Коши
Дано
t

x t   3  xt   e
x0  2
Требуется найти xt 
 Находим изображение левой части уравнения
xt   p  X  p  x0  p  X  p  2
3  xt   3  X  p
p  X  p  2  3  X  p
Решение задачи Коши
 Находим изображение правой части уравнения
xt   p  X  p  x0  p  X  p  2
 Решаем операторное уравнение
1
p  X  p  2  3 X  p 
p 1
2
X  p 

 p  1 p  3 p  3
1
Решение задачи Коши
 Разлагаем на простые дроби
2
X  p 


 p  1 p  3 p  3
1
1
2
1
7





4 p  1 4 p  3 p  3 4 p  1 4 p  3
1
Решение задачи Коши
 Разлагаем на простые дроби
2
X  p 


 p  1 p  3 p  3
1
1
2
1
7





4 p  1 4 p  3 p  3 4 p  1 4 p  3
1
 По изображению находим оригинал
1
7
1 t 7 3t

 e  e
4 p  1 4 p  3 4
4