Def: Условной вероятностью называется вероятность

Теоремы умножения и
сложения вероятностей
Формула полной
вероятности
Def: Условной вероятностью Р А (В )
называется вероятность события В,
вычисленная в предположении, что
событие А уже наступило.
Условная вероятность обладает
теми же свойствами, что и
безусловная вероятность.
# Из ящика, содержащего 4 белых и 7 чёрных шаров
наудачу последно извлекаются 2 шара. Найти
вероятность того, что 2-й шар - чёрный при условии,
если первым был извлечён белый шар.
А   1  ый извлечён белый шар
В   2  ой извлечён черный шар
7
РА ( В ) 
10
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Th: Вероятность совместного
появления двух событий равна
произведению вероятности одного из
них на условную вероятность другого,
вычисленную в предположении, что
первое событие уже наступило.
Р( АВ )  Р( А)  Р А ( В)
Следствие: Вероятность совместного
появления нескольких событий равна
произведению вероятности одного из них на
условные вероятности всех остальных,
причём вероятность каждого последующего
события вычисляется в предположении, что
все предыдущие события уже появились:
Р( А1 А2 А3 ... Аn )  Р( А1 )  РА1 ( А2 )  РА1 А2 ( А3 )  ...РА1 А2 ... Аn1 ( Аn )
# Из ящика, содержащего 4 кр., 6 зел., и 5 син. шаров наудачу
последовательно извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что
первым будет извлечён красный шар, вторым – зелёный и третим
– синий (извлечённые шары обратно в ящик не возвращаются).
Решение:




S   третий  синий
R  первый шар кр.
Z  втор. шар з ел.
А  RZ S
Р( А)  Р( R  Z  S )  РR ( Z )  РR Z (S ) 
4
6
5


15 14 13
Независимые события.
Теорема умножения для
независимых событий
Пусть вероятность события В не
зависит от появления события А.
Def: Событие В называют
независимым от события А, если
появление события А не изменяет
вероятности события В, т.е., если
условная вероятность события В
равна его безусловной вероятности:
Р А ( В )  Р( В)
Свойство независимости событий взаимно,
т.е., если событие В не зависит от события А,
то и событие А не зависит от события В.
Р В ( А)  Р ( А)
Th: Для независимых событий теорема
умножения Р( АВ )  Р( А)  Р А ( В) имеет вид
Р( АВ)  Р( А)  Р( В)
Def: Два события называют независимыми,
если вероятность их совмещения равна
произведению вероятностей этих событий; в
противном случае события называются
зависимыми.
Зам ечание: Если события А и В нез ависим ы,
то нез ависим ыт.ж. события А и В , А и В, А и В .
Def: Несколько событий называют
попарно независимыми, если каждые
два из них независимы.
Def: Несколько событий называют
независимыми в совокупности, если
независимы каждые два из них и
независимы каждое событие и все
возможные произведения остальных.
Следствие из Th умножения:
Вероятность совместного появления
нескольких событий, независимых в
совокупности, равна произведению
вероятностей этих событий.
Р( А1 А2 ... Аn )  Р( А1 ) Р( А2 )... Р( Аn )
Теорема сложения
вероятностей несовместных
событий. Следствия.
Th: Вероятность появления одного из
двух несовместных событий,
безразлично какого, равна сумме
вероятностей этих событий.
Р( А  В)  Р( А)  Р(В)
Следствие: Вероятность появления
одного из нескольких попарно
несовместных событий, безразлично
какого, равна сумме вероятностей
этих событий:
Р( А1  А2  ...  Аn )  Р( А1 )  Р( А2 )  ...  Р( Аn )
Вероятность появления хотя
бы одного события
Th: Вероятность появления хотя бы
одного из событий А1 , А2 , ..., Аn ,
независимых в совокупности, равна
разности между единицей и
произведением вероятностей
противоположных событий
А1 , А2 , ... Аn
Р ( А)  1  q1  q 2  ...  q n
Частный случай.
Если события А1 , А2 , ... Аn имеют
одинаковую вероятность, равную р,
то вероятность появления хотя бы
одного из этих событий
Р ( А)  1  q n
#
Вероятност и попаданияв цель
при стрельбе из трёх орудий таковы :
р1  0,8; р2  0,7; р3  0,9.
Найтивероятност ь хотя бы одного
попадания(соб.А)
при одном залпе из всех орудий.
Теорема сложения
вероятностей совместных
событий
Th: Вероятность появления хотя бы
одного из двух совместных событий
равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их
совместного появления:
Р( А  В)  Р( А)  Р(В)  Р( АВ )
Замечание: При использовании формулы
следует иметь в виду, что события А и В
могут быть как независимыми, так и
зависимыми.
# Вероятности попадания в цель
при стрельбе первого и второго
орудий соответственно равны:
р1  0,7; р 2  0,8. Найти
вероятность попадания при
одном залпе (из обеих орудий)
хотя бы одним из орудий.
Ответ: р=0,94
Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить
при условии появления одного из
несовместимых событий В1 , В2 ,..., Вn
Th: Вероятность события А, которое
может наступить лишь при условии
появления одного из несовместных
событий В1 , В2 ,..., В , образующих
полную группу, равна сумме
произведений вероятностей каждого
из этих событий на соответствующую
условную вероятность события А.
n
Р( А)  Р( В1 )  РВ1 ( А)  Р( В2 )  РВ2 ( А)  ...  Р( Вn )  РВn ( А)
# Имеются 5 урн. В двух урнах по 2 белых и
одному чёрному шаров. В одной 10 чёрных. В
двух по 3 белых и одному чёрному шаров.
Найти вероятность того, что вынутый наудачу
выбранной урны шар окажется белым.
Решение:
А  вынутый шар белый
Н1  выбрана урна первой гр.
Н2
Н3
А  Н1  А  Н 2  А  Н 3  А
Р ( А)  Р( Н1 )  РН1 ( А)  Р( Н 2 )  РН 2 ( А)  Р( Н 3 )  РН 3 ( А)
2 2 1 0 2 3 4 6
4 3 8  9 17
Р ( А)        
  

5 3 5 10 5 4 15 20 15 10
30
30