07.Анализ вариационных рядо

Анализ вариационных
рядов
Анализ вариационных рядов. Основные
понятия и определения
Генеральная совокупность – множество всех
значений, характеризующих изучаемый признак.
Выборка – часть генеральной совокупности.
Ранжирование опытных данных – операция,
заключенная в расположении значений признака
по неубыванию.
После операции ранжирования опытные данные
можно сгруппировать так, чтобы в каждой группе
признак принимал одно и то же значение xi
(вариант)
Анализ вариационных рядов. Основные
понятия и определения
W x x
Размах выборки – число
.
ni
Частота варианта ( ) – число повторений
max
min
отдельного варианта значений признака.
Объем совокупности – сумма всех частот
k
n   ni
i 1
Относительная частота – отношение
частоты данного варианта к объему
совокупности
ni
i 
n
Анализ вариационных рядов. Основные
понятия и определения
Вариационный ряд – последовательность вариант,
расположенных в возрастающем порядке.
Дискретный вариационный ряд – ранжированная
последовательность вариант с соответствующими
частотами или относительными частотами.
Интервальный вариационный ряд - упорядоченная
совокупность интервалов варьирования значений
случайной величины с соответствующими частотами или
относительными частотами попаданий в каждый из них
значений величины .
Дискретный вариационный ряд
x1
n1
x3
n3
x2
n2
k
n
i 1
i
n
…………
xk
…………
nk
Интервальный вариационный ряд
x0 ; x1  x1 ; x2 
n1
n2
 x 2 ; x3 
…………
n3 …………
xmax  xmin
h
,
l
l  1  3,322 Lg (n)
xk 1 ; xk 
nk
Графическое изображение
вариационных рядов
 Полигон частот –это ломаная, отрезки которой
соединяют точки ( x1 , n1 ), ( x2 , n2 ),..., ( xk , nk )
Полигон относительных частот –это ломаная,
nk
n1
n2
(
x
,
),
(
x
,
),...,
(
x
,
)
1
2
k
отрезки которой соединяют точки
n
n
n
Гистограмма частот (относительных частот) – фигура,
состоящая из прямоугольников с основанием h и
высотами ni (i )
 Гистограмма плотности частот (плотности
относительных частот) - фигура, состоящая из
прямоугольников с основанием h и высотами
 i 
ni
 
 h
h
Статистическое
распределение.
Из генеральной совокупности извлечена
выборка объема n :
 x1 наблюдалась n1 раз;

x2
наблюдалась
n 2 раза;
 x3 наблюдалась n3 раза;
…………………………………
 k наблюдалась k раз.
n
x
k
Причем
.
n

n
 i
i 1
Числа
n , n ,...., n
1
2
k
называются частотами.
Числа
ni
wi 
n
, где
i  1,2,..., k
наз. относительными частотами.
Статистическим распределением
выборки наз. соответствие между
наблюдаемыми вариантами и их
частотами или относительными
частотами.
x1
x2
x3
…………
w1
w2 w3
…………
k
 wi  1
i 1
xk
wk
n
Полигон частот.
k
n3
n1
n2
x1 x 2 x3
..........
xk
Полигон относительных частот.
wk
w3
w1
w2
x1 x 2 x3 ..........
xk
Эмпирическая функция распределения
это функция равная отношению числа
вариант, меньших x , к объему
выборки:
.
n( x )
F ( x) 
n

1)
2)
0  F ( x)  1;


F (x ) - неубывающая;
3) если x1 наименьшая варианта,

то F ( x)  0, при x  x1 ;
4) если x k наибольшая варианта,

то F ( x )  1, при
k
xx.
Пример.
По данному распределению выборки построить
эмпирическую функцию.
xi
2
6
10
ni
12
18
30
3
n   ni  60
i 1
0,
12
 ,
 60

F ( x)  
12

18

,
 60
1,

x  2;
2  x  6;
6  x  10;.
x  10.
0,
0,2 ,


F ( x)  
0
,
5
,

1,
x  2;
2 x  6;
6  x  10 ;
x  10 .
F  (x)
1
0,5
0,2
0 2
6
10
x
Статистическая
совокупность.
x0 ; x1   x ; x  x2 ; x3 
1
n1
n2
2
n3
…………
…………
xk 1 ; xk 
nk
h  x1  x0  x2  x1  ....  xk  xk 1
Число интервалов определяется по
формуле Стерджеса
k  1  3,22  lg n
Ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длиною
высоты равны отношению
(плотность частот).
ni
h
h
,а
Гистограмма частот.
ni
h
n2
h
n1
h
nk
h
x1 x 2 x3
xk 1x k
Площадь гистограммы частот
k
S   S i ,
i 1
тогда
ni
S i   h  ni ,
h
k
S   ni  n.
i 1
Ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длиною
высоты равны отношению
wi
h
(плотность относительных частот).
h,а
Гистограмма относительных
частот.
wi
h
w2
h
w1
h
wk
h
x1 x 2 x3
xk 1x k
Площадь гистограммы относительных частот.
k
S   S i ,
i 1
wi
Si   h  wi ,
h
тогда
k
k
k
n
i
ni i 1
n
S   wi   
  1.
n
n
i 1
i 1 n
Интервальные оценки
Оценка, которая определяется двумя
числами, являющимися концами
интервала, содержащего неизвестный
параметр, называется интервальной.
Доверительная вероятность
(надежность)- вероятность с которой
осуществляется неравенство       , т.е.


P       .

Доверительный интервал – интервал,
который покрывает неизвестный параметр 
с заданной надежностью  .
Доверительный интервал для оценки
математического ожидания
нормального распределения при
известном .

xв 
Число
t
t 
n
 a  xв 
t 
n
определяется из равенства
Ф (t ) 

2
.
Доверительный интервал для оценки
математического ожидания нормального
распределения при неизвестном
.
xв 
Число
t  S
n
 a  xв 
t  S
n
t  определяется по таблице
t  t ( , n).