Тема 1. Лекция 2. Матрицы и действия над ними. Основные

Тема 1.
Лекция 2. Матрицы и действия над ними.
Основные вопросы
1. Матрицы и действия над ними.
1.1. Общие определения, связанные с понятием матрицы.
1.2. Действия над матрицами.
2. Обратная матрица.
1. Матрицы и действия над ними.
Матрицы, впервые появившиеся в середине 19-го века в работах английских математиков У. Гамильтона (1805-1865) и А. Кэли (1821-1895), в настоящее время весьма широко используются в прикладной математике, они значительно упрощают рассмотрение сложных систем уравнений.
1.1. Общие определения, связанные с понятием матрицы.
Если при рассмотрении систем линейных уравнений из коэффициентов
при неизвестных составить таблицы вида
 а11

 а 21
а12 

а 22 
или
 а11

 а 21

а12
а 22
а13 
,
а 23 
то такие таблицы называются матрицами.
В общем случае матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел или каких-либо других объектов.
В дальнейшем будем рассматривать матрицы, составленные из вещественных
чисел.
Матрицы обозначают одной буквой, например,
а
А   11
 а 21
а12 
а
  11
а 22  а 21
а12
а 22
где
круглые скобки, или двойные черточки – знак матрицы,
а числа а11 , а12 ,… - элементы матрицы.
Каждая матрица имеет определенные размеры (m×n) , т.е. количество
строк m и количество столбцов n .
В общем, матрица имеет вид
 а11

a
А   21


a
 m1
а12
a 22

am2
 а1n 

 a2n 
 a ij mn ,
 

 a mn 
номер строки i меняется от 1 до m , номер столбца j – от 1 до n .
т.е.
Разновидности матриц.
Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , тогда говорят о её порядке. Квадратная матрица имеет определитель,
составленный из элементов матрицы и обозначаемый (например, для
матрицы А) А ,  , det A или D A .
Не следует смешивать понятия определителя и матрицы.
Матрица есть только таблица, а определитель есть число, и он всегда квадратной формы.
Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной, если же он равен нулю, то матрица – вырожденная.
Квадратная матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, называется диагональной .
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны
единице, называется единичной и обычно обозначается буквой Е.
Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой
(нуль-матрицей).
Матрица может содержать только один столбец, тогда она называется
матрицей-столбцом, или только одну строку, тогда она называется матрицей-строкой.
Матрицы, имеющие одинаковое число строк и число столбцов, а также
равные соответствующие элементы, называются равными .
а12 
в 
а
в
 и В   11 12  , то
А   11
 а 21 а 22 
 в 21 в 22 
а11  в11 ; а12  в12 ; а21  в21 ; а22  в22 .
Так, если
А=В
при условии, что
Матрицы А и В называются соответственными, когда число столбцов
матрицы А равно числу строк матрицы В. Наглядно это можно показать так
(рис.3.3):
к
n

m
A
и
В
к
Рис.3.3. Схематическое представление соответственных матриц.
В процессе дальнейшего изучения укажем ещё ряд матриц (симметрическая, транспонированная и др.).
1.2. Действия над матрицами.
Над матрицами можно производить следующие действия (операции):
сложение, умножение матриц, а также обращение матриц.
1. Сложение матриц. Заметим, что складывать можно только
матрицы одинаковых размеров.
Определение 3. Суммой двух матриц А  аij mn и В  вij mn называется
матрица С  сij mn элементы которой определяются
равенством сij  a ij  в ij .
Обозначается : С=А+В .
3   0 1 3  1 3 6 
1 2

  
  
 .
 2 4  5    1 2 4   1 6  1
Сложение матриц подчиняется переместительному закону, т.е. А+В=В+А, и
сочетательному закону, т.е. (А+В)+С=А+(В+С).
Пример 1.
2. Умножение матриц на число.
Определение 4. Произведением матрицы А на число λ называется матрица
а12 
 а

А      А   11

а

а
22 
 21
Матрица 1  А записывается как -А и называется
матрицей, противоположной матрице А.
3. Умножение матриц. Отметим, что перемножать можно только
соответственные матрицы .
Определение 5. Произведением А  аij mk имеющей m строк и k
столбцов, на матрицу В  в ij  kn , имеющей k строк и
n столбцов, называется матрица С  сij  mn , имеющая
m строк и n столбцов, у которой элемент Cij равен
сумме произведений элементов i – той строки
матрицы А и j -го столбца матрицы В, т.е.

i  1, m 

cij  ai1  в1 j  ai 2  в 2 j    aik  в kj , 
 .

 j  1, n

Обозначается С  А  В .
Пример 2.
 1 2 
 2 1  1 2  0  2
 2 1 0  

   2 1   
3 1 1  
3 1  1 2  1 2

  2  2  
2  2  1  1  0   2   4 5 


3  2  1  1  1   2    7 5 
Можно показать, что умножение матриц подчиняется сочетательному закону А  В  С    А  В  С и распределительному закону  А  В  С  АС  ВС но не
подчиняется переместительному закону, т.е. АВ ≠ ВА.
Замечание. Единичная матрица Е перестановочна с любой матрицей А
того же порядка, что и матрица Е, т.е. АЕ = ЕА = А, т.е.
только в этом случае умножение матриц подчиняется переместительному закону.
Убедимся в этом на примере матриц второго порядка
1
А  Е  
3
1
Е  А  
0
2.
2  1 0 11  2  0


4   0 1   3  1  4  0
0   1 2  1  1  0  3


1   3 4   0  1  1  3
1  0  2 1 1 2

  А;
3  0  4  1  3 4 
1 2  0  4 1 2

  А.
0  2  1  4   3 4 
Обратная матрица.
Рассмотрим так называемую обратную
матрицу, понятие которой вводится только для квадратной
матрицы.
Определение 6. Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы А , если АА-1 = А-1А = Е.
Не любая матрица может иметь обратную.
Справедлива следующая теорема: Для существования
обратной матрицы А-1 необходимо и достаточно,
чтобы определитель матрицы А был не равен нулю
( А  0 ) , т.е. чтобы матрица А была невырожденной .
При составлении обратной матрицы осуществляется,
так называемое, транспонирование матрицы.
Определение 7. Матрица АТ называется транспонированной по отношению к матрице А , если столбцы матрицы А являются строками матрицы АТ . Таким образом, транспонирование – это переход от матрицы А к АТ, заключающийся в замене соответствующих столбцов матрицы А строками .
Пример 3. Пусть
 а11

А   а 21
а
 31
а12 

а
а 22  . Транспонированной матрицей АТ будет АТ   11
 а12
а32 
а 21
а 22
а31 
.
а32 
Алгоритмы составления обратной матрицы.
1. Вычислить определитель матрицы А , т.е. À   (если ∆ ≠ 0, то матрица А имеет обратную).
2. Вычислить алгебраические дополнения всех элементов определителя
матрицы А, т.е. Аij .
3. Составить матрицу В путем замены в матрице А каждого элемента
его алгебраическим дополнением, т.е. аij заменить на Аij .
4. Составить транспонированную матрицу ВТ по отношению к матрице
В , поменяв местами в матрице В её строки и столбцы.
5. Разделив все элементы матрицы ВТ на определитель ∆ , составить
обратную матрицу А-1, т.е.
А 1 
1 Т
В .

6. Проверка. Найти произведение АА-1 , которое должно быть равно
матрице Е .
Пример 4. Найти матрицу, обратную матрице
 1  2 1


А   2 1 1
 1 3 1


Решение.
1 2 1
1)   2 1 1  5  0 , следовательно существует А-1 ;
1 3 1
2) А11 
1 1
 2;
3 1
А21  
А31 
2 1
 5;
3 1
2 1
 3;
1 1
  2 1 5 


3) В   5 0  5 
3 1 5 


А12 
2 1
 1;
1 1
А22 
1 1
 0;
1 1
А32  
1 1
 1;
2 1
А13 
2 1
 5;
1 3
А23  
1 2
 5;
1 3
А33 
1 2
 5;
2 1
  2 5  3


4) В    1 0 1 
5  5 5 


3
 2
1  

5
 5
Т
 1
В
1
 
0
5) А 1 

  5
5
 1 1 1 




Т
3
 2
1  

5  1 0 0 
1  2 1   5

 1

1 
0

0
1
0
6) Проверка.  2 1 1   

 
5 
1 3 1   5


  1 1 1   0 0 1




-1
Вывод: Обратная матрица А составлена правильно.