08-Глава-6-Матрицы-и

ГЛАВА 6. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
6.1. Числовые матрицы и действия над ними
О п р е д е л е н и е 1. Числовой матрицей, в дальнейшем именуемой просто матрицей, называется прямоугольная таблица из чисел
a ij , содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами
матрицы. В случае, если m  n , матрица называется прямоугольной
размера m  n . Если же m  n , то матрица называется квадратной, а
число n называется её порядком.
В дальнейшем для записи матрицы будут применяться круглые
скобки, ограничивающие слева и справа таблицу, обозначающую матрицу:
 a11 a12 ... a1n 


(6.1)
A   a21 a22 ... a2n .
... ... ... 
 ...

 am1 am 2 ... am n 
Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются её
элементами. В записи a ij первый индекс i означает номер строки, а
второй индекс j – номер столбца, в которых стоит элемент a ij . Для
краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна
большая латинская буква, например А, либо символ ( a ij ), а иногда и
буква и символ с разъяснением:
A   aij  , i  1, 2 ,  , m ; j  1, 2 ,  , n  .
(6.2)
Если m  1 , то матрица А называется матрицей-строкой:


A  a11 a12  a1n .
При n  1 получим матрицу-столбец:
(6.3)
a 
 11 


(6.4)
A   a21  .
 ... 
a 
 m1 
В случае квадратной матрицы порядка n
 a11 a12 ... a1n 


A  a21 a22 ... a2n 
(6.5)
... ... ... 
 ...

 an1 an 2 ... ann 
вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю
102
матрицы (6.5) называется диагональ a11 a 22 ... a nn , идущая из левого
верхнего угла этой матрицы в правый нижний её угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ an1 a( n 1) 2 ... a1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
П р и м е р 1.
– прямоугольная матрица размера 2 3 ;
A   1 3 5 
 2 4 6
– квадратная матрица второго порядка;
B   1 8 
 2 5
– матрица-строка размера 1 4 ;
C  1 4 7 10 
 2
 
D   4
– матрица-столбец размера 31 .
 6
 
О п р е д е л е н и е 2. Квадратная матрица, все элементы которой
равны нулю, кроме тех, что расположены на главной диагонали, называется диагональной и обозначается так:
... 0 
 a11 0
0
a
... 0  =
22
(6.6)
A
diag a11 a22 ... ann .
... ... 
 ... ...

0
... ann 
0
О п р е д е л е н и е 3. Диагональная матрица, все элементы которой равны единице называется единичной матрицей порядка n и обозначается обычно буквой E n :


 1 0 ... 0 


(6.7)
En   0 1 ... 0  .
... ... ... ...
 0 0 ... 1 


О п р е д е л е н и е 4. Матрица размера m  n все элементы которой равны нулю называется нулевой и обозначается буквой О:
 0 0 ... 0 


O   0 0 ... 0 
.
... ... ... ...
 0 0 ... 0 

m  n
(6.8)
Введем теперь действия над матрицами. Прежде всего договоримся считать две матрицы А и В равными и писать A  B , если эти
матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают:
  
A  B  aij  bij  aij  bij ,
 i 1, 2 , ... ,
103
m ; j 1, 2 , ... , n  .
(6.9)
Соответствующими элементами матриц А и В называются элементы
этих матриц, имеющие одинаковые номера строк и столбцов. Две матрицы, не удовлетворяющие указанным условиям, считаются неравными.
О п р е д е л е н и е 5. Суммой двух матриц A  aij и B  bij
одинаковых порядков m и n называется матрица
 
 
C   c  тех же поij
рядков m и n, элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых
cij  aij  bij , (i 1, 2, ..., m; j 1, 2, ..., n ) .
(6.10)
Для обозначения суммы двух матриц используется запись C  A  B .
Операция составления суммы матриц называется их сложением. Например,
 1  2 3  2 3 4   3 1 7 
 + 
 = 
 .
C  A  B = 
 5 1  3  1 3 5   6 4 2 
Из формулы (6.10) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает переместительным и сочетательным свойствами сложения действительных чисел:
1) A  B  B  A ,
2)  A  B   C  A   B  C  .
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых при сложении двух или большего числа матриц.
 
О п р е д е л е н и е 6. Произведением матрицы A aij на дей-
 
ствительное число  называется матрица C  cij , элементы c ij которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы А на
это число:
cij   aij ,
 i 1 , 2 , ... , m;
j 1 , 2 , ... , n  .
(6.11)
Для обозначения произведения матрицы на число используется
запись C   A или C  A  , а операция составления произведения
называется умножением матрицы на это число. Например,
2
3 
 1 2 3
 
 = 
.
 
4  8 
  5 4  8
  5
Непосредственно из формулы (6.11) очевидно, что умножение
матрицы на число обладает тремя следующими свойствами:
1° сочетательным свойством относительно числового множителя
    A     A     A  ;
2° распределительным свойством относительно суммы матриц
 A  B   A   B ;
3° распределительным свойством относительно суммы чисел
    A A A .
104
Введенные выше действия сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Рассмотрим некоторые следствия линейных операций.
1. Если О – нулевая матрица порядков m и n, то для любой матрицы А тех же порядков имеем A  O  A .
2. При    1 матрицу  A    1  A будем называть противоположной матрице A и обозначать  A . Она обладает тем очевидным
свойством, что A    A   O . Например,
 5  4   5 4  0 0

 + 
 = 
 .
  3 2  3  2  0 0
3. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков m и n
называется матрица С тех же порядков m и n, получаемая по правилу
C  A    B  . Операция составления разности двух матриц называется
их вычитанием. Например,
 1 7 5  3 4 3    2 3 2
 – 
 = 
 .
A  B  
 2 9  7   5  2  9    3 11 2 
4. Если любую матрицу умножить на нуль, то получим нулевую
матрицу тех же порядков.
5. Если все элементы матрицы имеют общий множитель, то его
можно вынести за знак матрицы. Например,
 4  8 12 
1  2 3 

 = 4 
 .
16  20 24 
 4  5 6
Кроме линейных операций, над матрицами можно выполнять действия, называемые нелинейными операциями: умножение матрицы на
матрицу, возведение квадратной матрицы в целую натуральную степень, транспонирование матрицы. Рассмотрим эти операции.
 
О п р е д е л е н и е 7. Пусть даны матрица A aij порядков m и
 
n и матрица B  bij порядков n и k, причем число столбцов n матрицы
А равно числу строк n матрицы В.
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица
обозначаемая C  AB , каждый элемент cij которой равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
cij  ai1 b1 j  ai 2 b2 j  ...  ain bnj ,
105
 i 1, 2, ..., m; j 1, 2, ..., k  .
(6.12)
Согласно данному определению не всякие две матрицы можно
перемножить. Произведение двух матриц имеет смысл тогда и только
тогда, когда число столбцов первого множителя A равно числу строк
второго множителя В. При этом в произведении получается матрица С,
число строчек которой равно числу строк первого множителя А, а число столбцов равно числу столбцов второго множителя В. Схематически
это можно изобразить так:
k
n
k
А
m
· n
B
= m
C
.
Что касается правила (6.12) для вычисления элементов в произведении двух матриц, то оно схематически изображается следующим образом:
j
j
·
i
=
i
сij .
Заметим, что умножение матрицы на матрицу определяется
несимметрично для обоих сомножителей и, вообще говоря, зависит от
порядка сомножителей, т. е. A B  B A . Может быть даже так, что произведение матриц, взятых в одном порядке, существует, а взятых в
другом порядке не существует.
П р и м е р 2. Перемножить матрицы А и В, если
2
1


1  1
2
 ,
A  
B  1  2  .
3
5
0
1
3 

Р е ш е н и е.
 2
AB  
0
2
1

1 1  
   1  2  =
3
5 
3 
1
2  1  1  1  1  1
 
0  1  3  1  5  1
2  2  1  2  1  3   2  1

,
0  2  3  2  5  3   8 9 
106
2
1

  2 1  1
 =
B A   1  2   

  0 3 5 
3
1
9
 1  2  2  0 1  1  2  3 1  1  2  5   2 7

 

  1  2  2  0 1  1  2  3  1  1  2  5  =  2  5  11  .
 1  2  3  0 1  1  3  3  1  1  3  5   2 10 14 

 

Оба произведения А В и В А здесь имеют смысл, но являются различными матрицами (даже различных порядков).
П р и м е р 3. Перемножить матрицы А и В, если
1 1 1 
1 2 3 
 ,
A  
B  1 2 4  .
1 3 9 
 4 5 6


Р е ш е н и е. Произведение АВ здесь имеет смысл, поскольку число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы В:
 1 2 3   1 1 1   6 14 36 
  1 2 4  
 .
AB  
 4 5 6   1 3 9   15 32 78 
Произведение В А здесь смысла не имеет.
Действие умножения матрицы на матрицу обладает следующими
четырьмя свойствами:
4° сочетательным
свойством
умножения
матриц
A  B C   A B  C ;
5° распределительным свойством умножения матрицы на сумму
матриц A  B  C   A B  A C ;
6° распределительным свойством умножения суммы матриц на
матрицу  B  C  A  B A  C A ;
7° если оба произведения АВ и ВА существуют, то в общем случае A B  B A .
Из свойства 7° видно, почему из свойств 5° и 6° нельзя было оставить только одно из них. Если же для двух матриц А и В имеем равенство A B  B A , то матрицы А и В называются перестановочными или
коммутативными. Очевидно, что это может иметь место только в случае, когда А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка n.
Среди квадратных матриц одинакового порядка n существует
только одна матрица, которая перестановочна с любой матрицей. Это –
введенная ранее формулой (6.7) единичная матрица E n . Нетрудно
проверить, что всегда
A En  En A  A ,
(6.13)
107
где А – произвольная квадратная матрица порядка n, т. е. единичная
матрица E n ведет себя при умножении на матрицу как число 1 в
обычной алгебре. Перестановочными являются также диагональные
матрицы одного порядка.
З а м е ч а н и е. Из алгебры известно, что произведение двух чисел ab  0 тогда, когда по меньшей мере одно из чисел a или b равно
нулю. При умножении матриц это неверно. Например, пусть А и В –
квадратные матрицы второго порядка:
1
1 1
 1
 ,
 .
A  
B  
1 1
  1  1
Тогда
2
 0 0
 2
 1 1
  O ,
  2 
  2 B .
A B  
B A  
0
0

2

2




  1  1
Из приведенного примера видно, что A B  O , где О – нулевая матрица
второго порядка, хотя A O и B  O . Матрицы А и В, удовлетворяющие условию A B  O , называются делителями нуля. Существование
делителей нуля есть одно из резких отличий алгебры матриц от алгебры чисел. В то же время произведение B A  2 B  O , т. е. матрицы А и
В не являются перестановочными и в произведении В А делителями
нуля не являются.
О п р е д е л е н и е 8. Целой положительной степенью
m
A  m 1  квадратной матрицы А называется произведение m матриц,
равных А, т. е.
A m  A  A  . A .
(6.14)
m раз
Заметим, что операция возведения в степень определена только для
квадратных матриц. По определению полагают:
A0  En ,
A1  A,
Am  Ak  Ak  Am  Am  k ,
A 
m
k
 Am k .
(6.15)
Следует обратить внимание на то, что из равенства A  O еще не
следует, что матрица А нулевая.
О п р е д е л е н и е 9. Пусть дана матрица А размера m  n :
m
 а11

 a21
A
...

a
 m1
а12
...
a22
...
am 2
...
...
...
а1n 

a2 n 
.
... 

amn 
(6.16)
108
Сопоставим ей матрицу AT из n строк и m столбцов по следующему
правилу. Элементы каждой строки матрицы А записываются в том же
порядке в столбцы матрицы AT , причем номер столбца матрицы AT
совпадает с номером строки матрицы А. Ясно, что при этом i-я строка
матрицы AT состоит
столбец матрицы А:
 а11 а21

T
A   a12 a22
...
 ...
 a1n a2n
из тех же элементов в том же порядке, что и i-й
... аm1 
... am 2  .
... ... 
... am n 
(6.17)
Матрица AT называется транспонированной матрицей А, а переход от А к AT называется транспонированием матрицы А.
Определение транспонированной матрицы можно записать в виде
m  n равенств вида:
b ji  aij ,
связывающих элементы матриц
 
A  aij
и
 
(6.18)
AT  b ji , для всех
i = 1, 2, … , m и j = 1, 2, … , n.
При транспонировании, как видим, меняется строение матрицы
(если m  n ), а именно:
m
n
A=
AT =
m,
n.
a b c 
A
 , B  x y z  ,
 a1 b1 c1 
 a a1 
 x
то
BT   y  .
AT   b b1  ,
 
c c 
 z 
1 

При транспонировании матрицы её строка превращается в столбец, а столбец в соответствующую строку. При этой операции выполняются следующие свойства:
1) AT T  A ,
2)  A  B  T  AT  BT ,
Например, если
 
3)   A  T   AT ,
4)  A B  T  BT AT .
T
T
Отметим, что в общем случае A  A , но E n  E n .
109
6.2. Определители квадратных матриц
С каждой квадратной матрицей, и только с ней, можно связать
число – её определитель. Определители играют важную роль при решении систем линейных уравнений и в других разделах математики.
Понятие определителя n-го порядка мы введем рекуррентным
способом, считая, что нами уже введено понятие определителя 1-го
порядка и указана формула вычисления определителя порядка n  1 .
Для удобства записи суммы большого числа слагаемых, имеющих
один и тот же вид и отличающихся только индексами, будем использоn

вать следующее обозначение. Символ
, после которого стоит не-
k 1
которое выражение, содержащее индекс к, будет обозначать сумму таких выражений для всех значений индекса к от 1 до n включительно,
например:
n

n
a
ak  a1  a2  ...  an ,
ik
k 1
 ai1  ai 2  ...  ain .
(6.19)
k 1
Индекс k называется индексом суммирования. В качестве индекса
суммирования может быть употреблена и любая другая буква.
О п р е д е л е н и е. 1°. Определителем матрицы первого порядка
A a11 , или определителем 1-го порядка, называется единственный
 
элемент этой матрицы a11 , обозначаемый одним из символов
  | A|  | a11 |  a11 .
(6.20)
2°. Определителем матрицы А порядка n  1 , где
 а11

 a21
A 
...

a
 n1
а12
...
a22
...
an 2
...
...
...
а1n 

a2 n 
,
... 

ann 
называется число, обозначаемое одним из символов
a11 a12 ... a1n
 |A | 
a21
...
an1
a22
...
an 2
...
...
...
a2 n
...
ann
(6.21)
и вычисляемое по формуле
n
 | A| 
(1)1 j a1 j M1 j ,
(6.22)
j 1
110
 n 1  , полученной из мат-
где M 1 j – определитель матрицы порядка
рицы А вычеркиванием первой строки и j-го столбца, называемый минором элемента a1 j .
Формулой (6.22) определитель | A| матрицы А порядка n выражается через определители M1 j  j 1, 2,...,n  матриц порядка  n 1  . Для
нахождения чисел M 1 j мы можем и должны воспользоваться той же
формулой (6.22), поскольку она имеет место для матриц любого порядка. Тем самым мы выразим определитель | A| через определители
матриц порядка  n  2  . Можно продолжать этот процесс до тех пор,
пока мы не придем к матрицам первого порядка, для которых определитель определен непосредственно.
Применим определение к матрицам порядка n  2 и n  3 . Для
матрицы 2-го порядка получим:
| A| 
a11
a21
a12

a 22
2
   1  1 j a1 j M1 j 
j 1
 a11M 11  a12 M 12  a11a 22  a12 a 21 .
(6.23)
Из формулы (6.23) следует, что определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов матрицы А, стоящих на главной и побочной диагоналях.
Определитель 3-го порядка по формуле (6.22) выразим через три
определителя 2-го порядка:
a11
| A |  a21
a31
 a11
a 22
a 32
a12
a22
a32
a13
a23 
a33
3
  1  1 j a1 j M1 j  a11 M11  a12 M12  a13 M13 =
j 1
a 23
a
a 23
a
 a12 21
 a13 21
a 33
a31 a33
a 31
a 22
.
a 32
(6.24)
Если здесь вычисление определителей 2-го порядка выполнить по
формуле (6.23), то получим шесть слагаемых, из которых три будут
иметь знак «+», а три других знак « – »:
| A|  a11 a22 a33  a21 a32 a13  a31 a12 a23 
 a31 a22 a13  a21 a12 a33  a11 a32 a23 .
(6.25)
Чтобы запомнить, какие произведения здесь берутся со знаком
«+», а какие со знаком « – », полезно следующее правило Сарруса:
111
,
.
"–"
"+"
Оно позволяет вычислить определитель 3-го порядка непосредственно
по формуле (6.25) без разложения его по элементам первой строки по
формуле (6.24).
По аналогии с минором M 1 j элемента a1 j матрицы А определим
минор M ij произвольного элемента a ij как определитель матрицы по-
рядка  n 1  , получаемой из исходной матрицы А вычеркиванием i-й
строки и j-го столбца.
Естественно возникает после этого вопрос, нельзя ли использовать для вычисления величины определителя (6.21) элементы и отвечающие им миноры не первой строки, а любой другой строки или любого столбца матрицы А ?
Ответ на этот вопрос дает основная теорема разложения определителя по элементам любой строки и любого столбца, которую примем
без доказательства.
Т е о р е м а р а з л о ж е н и я. Для каждой квадратной матрицы А порядка n при любом номере строки i  1  i  n  имеет место
формула
n
  | A |     1  i  k aik M ik
(6.26)
k 1
и при любом номере столбца j  1  j  n  – формула
n
  | A|     1  k  j akj M kj .
(6.27)
k 1
Заметим, что при i 1 формула (6.26) есть определение определителя n-го порядка, данное формулой (6.22). В дальнейшем, говоря о
строках и столбцах минора M ij , будем допускать вольность, имея в
виду строки и столбцы матрицы  n 1  -го порядка, полученной из исходной матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Рассмотрим три примера на использование теоремы.
П р и м е р 1. Вычислить определитель единичной матрицы E 4
разложением его по элементам первого столбца.
112
Р е ш е н и е.
1 0 0 0
0 1 0 0
| E4 |
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0
1 0
 1  | E1 |  1 .
1 0 1 0 1
0 1
0 0 1
Отсюда следует, что применяя n  1 раз равенство | En | | En1 | , мы получим | En | | E1 | 1 .
П р и м е р 2. Вычислить определитель

2
1
1
1
a
b
c
d
1
1
2
1
1
1
1
2
.
Р е ш е н и е. Разложим определитель по элементам второй
строки:
   aM 21  bM 22  cM 23  dM 24 =
1 1
1
2 1
1
2 1
1
2 1 1
  a 1 2 1  b 1 2 1  c 1
1 1  d 1
1 2 .
1 1 2
1 1 2
1
1
2
1
1 1
Применяя для вычисления определителей 3-го порядка правило
Сарруса, получим   9a  12b  9c  3d .
П р и м е р 3. Вычислить определитель

x
1
0
1
1
x
0
1
1
1
0
x
1
2
3
4
.
Р е ш е н и е. В данном случае для разложения целесообразно выбрать 3-й столбец, так как наличие в нём трех нулевых элементов дает
возможность не вычислять соответствующих миноров. Применяя затем
правило Сарруса, находим:
x
1 1
   3M 43   3  1  x
1  3x 3  9 x .
1 1  x
113
6.3. Свойства определителей
С увеличением порядка определителя число произведений, из которых состоит сумма, равная величине определителя, стремительно
растет. Так, в определителе 2-го порядка имеем два слагаемых, в определителе 3-го порядка – шесть слагаемых, в определителе 4-го порядка – двадцать четыре, а в определителе 5-го порядка их будет уже сто
двадцать. По этой причине определители выше 3-го порядка никогда
не вычисляют по определению или по теореме разложения. Существуют замечательные свойства определителей, с одной стороны, значительно упрощающие их вычисление, а с другой стороны, имеющие
важное теоретическое значение.
С в о й с т в о 1°. Для любой квадратной матрицы | A|  | AT | , т. е.
при транспонировании матрицы величина определителя сохраняется.
С в о й с т в о 2°. Если в квадратной матрице поменять местами
какие-нибудь две строки (или два столбца), то определитель матрицы
сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.
О п р е д е л е н и е 1. Будем говорить, что некоторая строка
(a1 , a2 , ..., an ) является линейной комбинацией строк (b1 , b2 , ..., bn ) ,
(c1 , c2 , ..., cn ) , … , (d1 , d 2 , ..., d n ) с коэффициентами  ,  , …,  , если
выполняются равенства a j   b j   c j  ...   d j
 j 1, 2,..., n  .
С в о й с т в о 3°. Если в квадратной матрице А порядка n некоторая i-я строка  ai1 , ai 2 , ..., ain  является линейной комбинацией двух
строк
 b1 , b2 , ..., bn 
и
 c1 , c2 , ..., cn 
с коэффициентами  и  , то
| A |   | Ab |  | Ac | , где | Ab | – определитель, у которого i-я строка
есть  b1 , b2 , ..., bn  , а все остальные строки те же, что и у определителя
| A | , а | Ac | – определитель, у которого i-я строка есть  c1 , c2 , ..., cn  , а
все остальные строки те же, что и у определителя | A | .
Указанные три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.
С л е д с т в и е 1. Определитель с двумя одинаковыми строками
(или столбцами) равен нулю.
В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной
стороны, определитель | A | не изменится, а с другой стороны, в силу
свойства 2˚ изменит знак на противоположный. Таким образом,
| A |   | A| , отсюда 2 | A |  0 и | A |  0 .
114
С л е д с т в и е 2. Умножение всех элементов некоторой строки
(или некоторого столбца) определителя на число  равносильно
умножению определителя на это число  .
Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой
строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак
этого определителя. Это свойство вытекает из свойства 3° при  = 0.
С л е д с т в и е 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель
равен нулю.
Это свойство вытекает из предыдущего при  = 0.
С л е д с т в и е 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов)
определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Действительно, в силу следствия 2 множитель пропорциональности  можно вынести за знак определителя, после чего останется
определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно следствию 1.
Найдем, например, значение определителя
1  2a 1 a x
1  2b 2 b x

.
1  2c 3 c x
1  2d 4 d x
Элементы первого столбца являются здесь суммами двух слагаемых, поэтому согласно свойству 3° имеем

1 1
a
x
2a
1
a
x
1 2
1 3
b
c
x
2b

x
2c
2
3
b
c
x
.
x
1 4
d
x
4
d
x
2d
В первом определителе первый столбец пропорционален последнему, во втором же первый столбец пропорционален третьему. По
следствию 4 оба определителя равны нулю, а значит Δ = 0.
С л е д с т в и е 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы
другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный множитель  , то величина определителя не изменится.
В самом деле, полученный в результате указанного прибавления
определитель можно в силу свойства 3° разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк (или столбцов) и следствия 4.
115
Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении
определителей для так называемого «обнуливания» определителя, т. е.
для замены ненулевых элементов нулевыми, что при определенном порядке обнуливания значительно сокращает вычисление определителя.
Рассмотрим конкретные примеры.
П р и м е р 1. Вычислить определитель 4-го порядка
3 5 1 0

2
1
4
5
1
7
4
2
.
3 5 1 1
Если к этому определителю непосредственно применить формулы
разложения (6.26), (6.27), то получим четыре определителя 3-го порядка. Но такой путь вряд ли целесообразен. Поставим перед собой цель,
пользуясь следствием 5, получить, например, в первом столбце три нулевых элемента. Для этого умножим третью строку на ( – 2) и сложим
со второй; кроме того, умножим эту же строку на 3, после чего сложим
с четвертой и вычтем из первой:
0  16  11  6

0
 13
4
1
1
7
4
2
.
0
26
13
7
Разложив определитель по элементам первого столбца, умножим
затем третий столбец на 4 и сложим со вторым, а затем умножим его на
13 и сложим с первым. Получим таким образом:
16 11  6
 94  35  6
 94  35
  241 .
  13  4
1
0
0
1 
117
41
26 13
7
117
41
7
П р и м е р 2. Вычислить определитель

4
99
83
1
0
8
16
0
60
17
134
20
15
43
106
5
.
Комбинируя следствия 2 и 5 с разложением определителя по элементам строки, используем символическую запись для краткого пояснения решения:
116
 
4
99
83
1
0
8
16
0
60
17
134
20
15
43
106
5

4
99
 115
1
0
8
0
0
60
17
100
20
15
43
20
5

(–2)
4  115
1
4  115 1
 8  60
100 20  8  20  5  3
5 1
15
20 5
3
4 1

(–1)
4  115 1
4 1
 800  0
1 0  800 
 800 .
3 1
3
4 1
О п р е д е л е н и е 2. Алгебраическим дополнением данного элемента ai j определителя n-го порядка (6.21) назовём число, равное
1i  j M i j
и обозначаемое символом Ai j :
Ai j = 1i  j M i j .
(6.28)
Таким образом, алгебраическое дополнение данного элемента
может отличаться от минора этого элемента только знаком, определен-
ным множителем 1i j .
С помощью понятия алгебраического дополнения основную теорему разложения определителя по любой строке и по любому столбцу
можно переформулировать так:
Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца)
определителя на соответствующие им алгебраические дополнения
этой строки (этого столбца) равна самому определителю:
n
  | A |   a i j Ai j , (i =1,2,…,n),
(6.29)
j 1
n
  | A |   a i j Ai j , (j =1,2,…,n).
(6.30)
i 1
Теперь можно сформулировать последнее свойство определителя.
С в о й с т в о 4. Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на соответствующие алгебраические
дополнения элементов любой другой строки (или столбца) равна нулю:
(6.31)
ak1 Ai1  ak 2 Ai 2  ...  akn Ain  0, k  i,
a1 p A1 j  a 2 p A2 j  ...  anp Anj  0, p  j.
117
(6.32)
З а м е ч а н и е. Формулы (6.29) – (6.32) можно объединить, записав их в виде единых формул Лапласа:
 | A |, если i  k ,
0, если i  k ,
n
 ak j Ai j  
j 1
(6.33)
 | A |, если j  p,
Ai j  
(6.34)
 0, если j  p.
i 1
Формулы Лапласа играют важную роль, с их помощью доказываются некоторые теоремы линейной алгебры.
a
n
ip
6.4. Обратная матрица
При умножении матриц естественно возникает вопрос: обратимо
ли действие умножения матрицы на матрицу? Другими словами, если
известно произведение двух матриц и одна из матриц-сомножителей,
то можно ли найти другую матрицу? Ответить на этот вопрос мы сможем, если введём понятие обратной матрицы.
Как известно, для каждого числа a  0 существует обратное чис1
1
1
ло a
такое, что произведение a  a  a  a  1 . Для квадратных
матриц тоже вводится аналогичное понятие.
О п р е д е л е н и е. Матрица A 1 называется обратной для квадратной матрицы A порядка n, если при умножении её слева и справа на
матрицу A получается единичная матрица, т. е.
A A1  A1 A  En .
(6.35)
Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же
порядка. Очевидно, что свойство быть обратной матрицей взаимно в
том смысле, что если A
1
1
 
является обратной для A , то A является
1 1
обратной для A : A
A.
Убедимся сначала в том, что если обратная матрица существует,
то она единственна. Предположим, что для матрицы
две обратные матрицы A
АА
1
1
A существуют
и А1 . Тогда по определению (6.35) имеем:
1
 А А  Еn , A A1  A1 A  En .
1
Умножив последнее равенство слева на A , получим
1
A ( А А1 )  А1 Еn .
Воспользовавшись сочетательным свойством умножения матриц
и определением единичной матрицы, получим:
A1 ( A A1 )  ( A1 A) A1  En A1  A1  A1 En  A1 ,
118
1
т. е. А1  А . Следовательно, матрица не может иметь более одной
обратной. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если
а  0 является необходимым и достаточным условием существования
1
обратного числа а , то для существования матрицы A 1 таким условием является требование | A |  0 .
Квадратная матрица A называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной. Справедлива следующая теорема.
Т е о р е м а. Если A – невырожденная матрица, то она имеет
обратную матрицу A 1 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть | A |  0 . Составим квадратную мат~
рицу А , называемую присоединённой для матрицы A , элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы АТ :
 A11 A21 . .

A
A22 . .
~
А   12
 ...
... . .
A
A
. .
2n
 1n
. An1 

. An 2 
(6.36)
.
. ... 
. Ann 
~
Найдем произведение A A  cij  i, j  1, 2,..., n . По определению
операции умножения матриц (6.12) и формуле Лапласа (6.33) имеем:
n
 | A |,если i  j ,
сi j  ai1 A j1  ai 2 A j 2  ...  ai n A j n   ai k A j k  
 0 , если i  j ,
k 1
т. е.
 | A | 0 ... 0 


~  0 | A | ... 0 
AA
| A | En .
... ... ... ... 


 0
0 ... | A | 

Подобным же образом с помощью формул Лапласа (6.34) можно
~
доказать, что A A  | A| En . Так как, по условию | A |  0 , то, умножая
обе части последних двух равенств на



1
, имеем
|A |

~
 1 ~
 1 ~
1
1 ~
A A  A
A   En ,
AA 
A   A  En .
| A|
| A|
 | A| 
 | A| 
Полученные выражения показывают, что для невырожденной
матрицы A существует обратная матрица следующего вида:
119
A 1
 A11

1  A12


| A |  ...
A
 1n
A21
A22
...
A2 n
An1 

An 2 
.
... 

Ann 
...
...
...
...
(6.37)
Теорема доказана.
П р и м е р. Найти обратную матрицу для матрицы
1

А  3

4
 1

2 .

5 
2
0
2
Р е ш е н и е. Так как определитель матрицы   | A |  4 отличен
от нуля, то обратная матрица A 1 существует. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A :
А11 
А21  
А31 
0
2
2
5
 4,
2
1
2
5
2
1
0
2
А12  
 8, А22 
 4,
А32  
3
2
4
5
1
1
4
5
1
1
3
2
3
0
4
2
 7,
А13 
 9,
А23  
 5, А33 
1
2
4
2
1
2
3
0
 6 ,
 10 ,
 6 .
По формуле (6.37) находим:
 4
1~
1
A   A    7
4
4
 6

1
8
9
10
4   1
 
5    7 4
 
 6   3 2
2
9 4
5 2
1 

5 4.

3 2 
По формулам A A1  A1 A  En проверяем правильность вычисления обратной матрицы:
1

3

4
2
0
2
1   1
 
2  7 4
 
5   3 2
2
9 4
5 2
120
1 
 1


5 4  0


3 2 
0
0
1
0
0 

0 .

1 