Точкой перегиба кривой называется точка, которая отделяет

Первая
производная
Вторая
производная
План
Первая производная
 Если производная функция y  f (x)
положительна (отрицательна) в
некотором интервале, то функция в
этом
интервале
монотонно
возрастает (монотонно убывает).
Далее
Достаточный признак экстремума
 Если производная f (x ) при переходе через
меняет знак, то является точкой экстремума
функции f (x )
a
x
a
Далее
Необходимый признак экстремума
 Если x  a является точкой экстремума
функции y  f (x) и производная в этой точке
существует, то она равна нулю : f ( a )  0
График
График
y
0
максимум
f (a)  0
a
y
минимум
f (a)  0
x
0
a
x
Главная
Вторая производная
 Вторая производная функции применяется при
исследовании функции на промежутки
выпуклости и вогнутости кривой.
Определение
Определение
 Кривая называется выпуклой в точке x  a , если в
некоторой окрестности этой точки она
расположена под своей касательной в точке (a; f (a))
 Кривая называется вогнутой в точке x  a,если в
некоторой окрестности этой точке она
расположена над своей касательной в точке (a; f (a))
y
вогнутая
выпуклая
0
a
a
x
Далее
Признак вогнутости и выпуклости
 Если вторая производная функции y  f (x) в
данной промежутке положительна, то кривая
вогнута в этом промежутке, а если
отрицательна – выпукла в этом промежутке.
Определение
Определение
 Точкой перегиба кривой называется
точка, которая отделяет выпуклую
часть кривой от вогнутой.
Далее
Признак существования точки
перегиба
 Если вторая производная f (x) непрерывна и
меняет знак при переходе через x  x0, то ( x0 ; f ( x))
является точкой перегиба кривой y  f (x)
Далее
План исследования функции и
построения её графика
 1. Находят область определения функции и определяют точки
разрыва, если они имеются
 2. Выясняют, не является ли функция четной или нечетной;
проверяют её периодичность
 3. Определяют точки пересечения графика функции с
координатными осями
 4. Находят критические точки 1-рода
 5. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции
 6. Определяют промежутки выпуклости и вогнутости и находят
точки перегиба
 7. Используя результаты исследования, соединяют полученные
точки плавной кривой
Выход