λ 1,2

Анализ процессов в
электромеханических системах
классическим методом
Три метода
Решение систем дифференциальных
уравнений и соответственно анализ
процессов в электромеханических
системах осуществляют с
использованием трех методов:
• Классический метод;
• Операторный метод;
• Метод переменных состояний.
Решения системы
дифференциальных
уравнений на примере RLC-цепи
Схема RLC-цепи при подключении к
источнику постоянного напряжения
имеет следующий вид:
Составим Систему Дифференциальных
Уравнений, описывающую процессы в
данной цепи.
di

E

1(
t
)

i
(
t
)

R

L

U
(
t
)
C

dt

dU
(
t
)
C

i (t )  C

dt
Представим СДУ в нормальной форме
Коши:
 di 1


E

1(
t
)

i
(
t
)

R

U
(
t
)


C
 dt L

dU
(
t
)
1
C

  i (t )

dt
C
Запишем СДУ в матричной форме:
1
 R
E






d  i(t ) 
L
L  i(t )   

 L 1(t ).






U
(
t
)
dt U С (t )   1

С


0 

0
 C

где
 R
 L
A
 1

 C
1
 
L - матрица

0 

коэффициентов перед переменными
состояния цепи
E
B   L  - вектор свободных членов
 
0
СДУ;
 i(t ) 
X (t )  

U С (t ) 
состояний
- Вектор переменных
Определение корней СДУ
Запишем однородную СДУ в виде:
1
 R



d  i(t )   L
L  i(t ) 

.




U С (t ) 
dt U С (t )   1


0 

 C

Составим характеристическое уравнение
R
1
  
1
L
L  R 
det( A   E ) 
          
1
L
LC



C
введем обозначения
R
1
a
b
L
LC
Тогда характеристическое уравнение
можно записать в виде:
  a    b  0.
2
Решение этого уравнения имеет
следующий вид
2
2
a a
R
1
 R 
1,2       b  
 
.
 
2 2
LC
 LC  LC
Предположим, что корни
характеристического уравнения
действительные и разные:
1  a, 2  b
Отметим, что для устойчивости
динамической системы необходимо,
чтобы действительные части корней
характеристического уравнения были
отрицательными.
Найдем собственные вектора для каждого
собственного значения матрицы A.
Для значения λ1 = −a алгебраическая
система уравнений будет выглядеть
следующим образом:
1
 R
(



)

h
1


h
2

0
1

1

1
 L
L

1

 h11  1  h21  0

C
или
1
 R
(


a
)

h
1


h
2

0

1

1
 L
L

1

 h11  a  h21  0

C
Примем значение h1λ1=1 и определим h2
второго уравнения системы:
1
h 2 1  
.
C a
λ1 из
Собственный
собственного
вектор
для
значения
цыA:
первого
матри-
 1 
 h11  
(1)
.
h 

  1 

 h 2 1   
 C a 
Аналогично
будет
находиться
собственный вектор и для второго
собственного значения матрицы A:
 1 
 h1 2  
1
(2)
.
h1 2  1, h2 2  
, h 

  1 
C b

 h 2 2   
 C b 
Общее решение однородной СДУ x0 (t)
запишется в виде:
(1) 1t
(2) 2t
x0 (t )  N1  h e  N 2  h e
или
 1 
 1 
 at
 bt




x0 (t )  N1 
 e  N2 
e .
1
1
 

 

 C a 
 C b 
Можно записать отдельно выражения
для каждой неизвестной временной
функции:
 at
 bt
i0 (t )  N1  e
И
 N2  e ,
 1   at
 1  bt
U C0 (t )  N1   
  e  N2   
e .
 C a 
 C b 
Предположим,
что
корни
характеристического
уравнения
комплексно сопряженные:
12  a  j  .
В этом случае собственный вектор
ищется только для одного из этих
значений.
Найдем собственный вектор для
λ1 = −α + jβ :
1
 R
(



)

h
1


h
2

0
1

1

1

 L
L

1

 h11  1  h21  0

C

Принимаем h1λ1 =1 и находим
уравнения системы:
h2λ1 из второго
1
1
h 2 1 

.
C  1 C  (a  jβ)
Общее решение однородной СДУ в этом
случае запишется в виде:
 i0 (t ) 
(1) 1t
(1) 1t
x0 (t )  
 N1  Re(h e )  N 2  Jm(h e ).

U C 0 (t ) 
Запишем каждую компоненту
решения отдельно:
1t
общего
1t
i0 (t )  N1  Re(h11  e )  N 2  Jm(h11  e ),
1t
1t
UC 0 (t )  N1  Re(h21  e )  N2  Jm(h21  e ).
Найдем составляющие общего решения
однородной СДУ.
По формуле Эйлера для комплексных
чисел:
1t
e e
 at
(  a  j  )t
 at
 e e
βt
 e  (cos(βt )  j sin(βt )).
тогда
Re(h11  e
1t
Jm(h11  e
1t
)e
 at
 cos(βt ),
)e
 at
 sin(βt ).
Для разделения вещественной и мнимой
частей
второй
составляющей
h2λ1
собственного
вектора
домножим
числитель и знаменатель h2λ1 на число,
комплексно сопряженное знаменателю
h2 λ1 :
1
1
(a  jβ)
h 2 1 


.
C  1 C  (a  jβ) C  (a  jβ)  ( a  jβ)
Учитывая
формулу
умножения
комплексно сопряженных чисел друг на
друга, запишем:
(a  jβ)
a
β
h 2 1 

j
,
2
2
2
2
2
2
C  (a  β )
C  (a  β ) C  (a  β )

  at
a
β
 at
h 2 1  e   

j

(
e

cos(β
t
)

je
 sin(βt ))
2
2
2
2 
 C  (a  β ) C  (a  β ) 
1t
 e
 at
 at
 sin(βt ) a  e  cos(βt )
Re(h21  e ) 

,
2
2
2
2
C  (a  β )
C  (a  β )
1t
 at
 at

a  e  sin(βt ) β  e  cos(βt ) 
1t
Jm(h21  e )   

.
2
2
2
2
C  (a  β ) 
 C  (a  β )
Общее решение однородной СДУ:
i0 (t )  N1  e
 at
 cos(βt )  N 2  e
 at
 sin(βt ),
 a  e  at  sin(βt ) β  e  at  cos(βt ) 
U C 0 (t )  N1  


2
2
2
2
C  (a  β ) 
 C  (a  β )
   e  sin(βt ) a  e  cos(βt ) 
 N2  

.
2
2
2
2
C  (a  β ) 
 C  (a  β )
 at
 at
Вывод
Сравнивая результаты общего решения
однородной СДУ при действительных и
комплексно сопряженных корнях, можно
отметить, что в первом случае
переходные процессы в ЭМС имеют
апериодический характер, а во втором
случае – затухающий колебательный.
Частное решение СДУ
Найдем частное решение неоднородной
СДУ при подстановке в исходную СДУ
значения t = ∞ :
 R

0  L
  1
0 

 C
1
E
 

L  i (t )   
 L .




U
(
t
)

С


0 
0

Найдем решение этой СЛАУ методом
Крамера.
Тогда получим
Полученное частное решение неоднородной
СДУ
легко
объясняется
физически
–
конденсатор заряжается до напряжения
источника питания E, а ток в цепи после
окончания переходного процесса становится
равным нулю, так как при работе на
постоянном токе конденсатор представляет
собой разрыв цепи.
Этапа определения постоянных
интегрирования
Нахождение постоянных интегрирования
осуществляют путем подстановки в
общее решение неоднородной СДУ
значения t = 0 и последующего
решения получившейся СЛАУ.
Решим задачу Коши для обоих случаев
собственных значений матрицы A –
действительных
и
комплексно
сопряженных
Действительные отрицательные корни
Найдем
постоянные
интегрирования
при
действительных
отрицательных
собственных значениях матрицы A:
λ1 = −a, λ2 = −b .
Общее решение неоднородной СДУ
в этом случае имеет вид
 i(t ) 
x(t )  xч  x0 (t )  


U C (t ) 
 1 
 1 
0
 at
 bt




    N1 
 e  N2 
e
1
1




E






 
 C a 
 C b 
При t = 0 и нулевых начальных
условиях, то есть i (0) = 0, UC (0) =0 .
Запишем получившуюся СЛАУ:
 1
 0   0   N1  
1
       N 
0  E   2   
 C a
1 
.
1 


C b 
Перенесем свободные члены:
 1
 0   N1  
1

   N 
 E   2   
 C a
1 
.
1 


C b 
Решим эту СЛАУ методом Крамера:
 1

1
 
 C a
1 
   1  1  ba ;
1 
C b C  a C  a b


C b 
1 
 0


1 
 E, 2
1
  E 

C b 

0 
 1
  E
 1
 
 E 
 C a

тогда
1 E  C  a  b
2
E C  a b
N1  
, N2 

.

ba

ba
Запишем компоненты общего решения
неоднородной СДУ:
- для тока
E  C  a  b  at bt
i(t )  iч  N1  e  N 2  e 
 (e  e );
ba
 at
 bt
для напряжения на емкости
 1   at
 1  bt
U C (t )  U С.част  N1   
  e  N2   
e 
 C a 
 C b 
E  b  at E  a bt
Е
e 
e .
ba
ba
Комплексные сопряженные корни
Определим постоянные интегрирования
при комплексно сопряженных корнях
характеристического уравнения:
λ1,2 = −α ± jβ.
Общее решение неоднородной СДУ
имеет в этом случае следующий вид:
Общее
решение неоднородной СДУ
 i(t ) 
x(t )  xч  x0 (t )  


U C (t ) 
 Re(h11  e ) 
 Jm(h11  e ) 
0
    N1  
 N2  
.
1t 
1t 
E
 Re(h21  e ) 
 Jm(h21  e ) 
1t
1t
При t = 0 и нулевых начальных условиях,
то есть i (0) = 0, UC (0) =0 . Запишем
получившуюся СЛАУ
0  0   N1   Re(h11 ) Jm(h11 ) 
0   E    N  .  Re(h2 ) Jm(h2 )  .
     2 
1
1 
Перенесем свободные члены, а также
учтем, что h1λ1 = 1 и Re(h1λ 1 ) = 1 ,
Jm(h1λ1 ) = 0, тогда получим систему
линейных
дифференциальных
уравнений в виде:
1
0
  0 
 N1  
   .
  .
 N 2   Re(h21 ) Jm(h21 )    E 
Решим эту СЛАУ методом Крамера:

1
0
Re(h21 ) Jm(h21 )
 Jm(h21 );
1 
0
0
 E Jm(h21 )
 0; 2 
1
0
Re(h21  E
  E;
Тогда
1
N1 
 0;

2
2
2
E
E  C  (a  β )
N2 


.

Jm(h21 )
β
Запишем
компоненты
общего
решения СДУ:
1t
1t
i(t )  iч  N1  Re(h11  e )  N 2  Jm(h11  e ) 
E  C  (a  b )
 N 2  Jm(h11  e ) 
 sin(βt );
β
2
1t
2
1t
1t
U C (t )  U С.част  N1  Re(h21  e )  N 2  Jm(h11  e ) 
 at
E  a  e  sin(βt )
 at
E
 E  e  cos(βt ).
β