2.1. Многочлены от одной переменной

2.1. Многочлены от одной
переменной
• Многочлены.
• Делимость многочлена.
• Теорема Безу.
• Схема Горнера.
• Корни многочлена.
1.1. Многочлены
• Выражение вида:
a0 x  a1 x
n
n 1
 a2 x
n2
 ...  a n 1 x  a n
• называется многочленом степени n
одного аргумента (переменной).
• Будем обозначать многочлен одной
переменной через
• Px, Qx ,
…
• Степенью многочлена называется
наивысшая степень аргумента
многочлена.
• Для указания степени многочлена
будем использовать нижний индекс
заглавной буквы: Pn x  .
• Запись
•
Pn  x   a 0 x n  a1 x n 1  a 2 x n  2  ...  a n 1 x  a n
• представляет собой стандартный вид
многочлена одной переменной х
степени n, где
• a0 , a1 , ..., an1 , an – коэффициенты
• степеней переменной х.
Определение 1.
• Два многочлена
•
Pn x 
и
Qn x 
,
• называются равными,
• если их коэффициенты
• при соответствующих степенях х
равны,
• т.е. пусть
n
n 1
n2


P
x

a
x

a
x

a
x
 ...  a n 1 x  a n
• n
0
1
2
,
Qn x   b0 x n  b1 x n 1  b2 x n  2  ...  bn 1 x  bn
,
•
• тогда
• a0  b0 ,
Pn x   Qn x 
a1  b1
,…

a n  bn
.
• Многочлен Qm x 
• называется многочленом степени
• выше чем многочлен Gk x 
,
• если наивысший показатель степени
х многочлена Qm x 
• больше наивысшего показателя
степени х многочлена Gk x 
• т. е.
mk
• Многочлены
•
Qm  x 
и
Gk  x 
• называются многочленами
одинаковой степени, если
•
mk
.
Основные формулы
сокращенного умножения:
• (a  b) 2  a 2  2ab  b 2 ;
• (a  b) 2  a 2  2ab  b 2 ;
• (a  b)  a  3a b  3ab  b ;
3
3
2
2
3
• (a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 ;
• a 2  b 2  (a  b)(a  b)
;
• a  b  (a  b)(a  ab  b );
3
3
2
2
• a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) ;
1.2. Деление многочлена на
многочлен
• Любой многочлен может быть
представлен в виде:
•
Pn x   Qm x   Gk x   Rx  ,
• где
• Qm  x 
– делитель многочлена P x  ,
n
• Gk x – частное от деления многочлена
• Pn x  на многочлен Qm x  ,
• Rx – остаток от деления многочлена
• Pn x  на многочлен Qm x  .
• Причем, сумма степеней делителя и
частного равна степени делимого,
• т. е.
mk  n
,
• степень остатка меньше степени
делителя.
Определение 1.
• Многочлен
Pn x 
• делится на многочлен
Qm  x 
,
• если остаток от деления равен нулю,
• т.е.
R x   0
.
Пример 1.
• Найти частное и остаток от деления
многочлена
• на
P4 x   x 4  3x 3  5 x 2  6 x  1
2


Q
x


x
 3x  2 .
• 2
Деление столбиком.
• x4 + 3x3 - 5x2 + 6x – 1
-x2 + 3x + 2
• x4 - 3x3 - 2x2
- x2 - 6 x - 15 = G2(х)
•
6x3 - 3x2 + 6x
•
6x3 -18x2 - 12x
•
15x2 + 18x - 1
•
15x2 - 45x - 30
•
63 x + 29 = R(x)
1.3. Деление многочлена на
двучлен
Теорема Безу
• При делении многочлена Pn x 
• на двучлен
x 
• остаток от деления равен значению
многочлена при x   ,
• т. е. Rx   Pn   .
Доказательство.
• Пусть при делении многочлена Pn x 
• на двучлен
x 
• имеем
• Pn x   x     Qn1 x   Rx  .
• Подставим в полученное выражение
значение
x 
,
• получим Pn         Qn1    R  ,
• или
• или
Pn    0  Qn1    R 
Pn    R 
,
,
• что и требовалось доказать.
Определение 1.
• Корнем многочлена называется
такое значение аргумента, при
котором значение многочлена
обращается в нуль.
• Таким образом,
x 
• является корнем многочлена , Pn x 
• если
Pn    0
.
Следствия из теоремы Безу
1.
• Многочлен
Pn x 
• делится на двучлен x   
• тогда и только тогда, когда число 
является корнем многочлена .
x 
Другими словами,
• если при делении многочлена
• на двучлен
Pn x 
x   
• остаток R(x) от деления равен нулю,
• то значение
x 
• – корень многочлена.
Доказательство.
• По теореме Безу
• если R   0 ,
• то следовательно
,
Pn    R 
Pn    0
.
• По определению корня многочлена
имеем, что
x 
• – корень многочлена, что и
требовалось доказать.
2.
3.
4.
Пример1.
Решение.
Пример 2.
Решение:
Теорема.
Доказательство.
Примечание.
Пример 4.
Решение.
1. 4. Корни многочлена.
Теорема о корнях
многочлена.
Определение
Теорема (без
доказательства).