Нахождение угла между прямыми

Нахождение угла
между прямыми
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми BC₁
и AB₁.
Решение.
C₁
B₁
A₁
AB₁ и BC₁ - скрещивающиеся прямые,
поэтому для нахождения угла между
ними построим прямую B₁D || BC₁ в
плоскости (BC₁B)
на продолжении прямой BC за точку B
отложим отрезок BD=BC
C
B
A
D
60°
60°
30°
120°
30°
D
2 способ. Поместим правильную призму в прямоугольную
систему координат.
Найдем координаты точек A; B₁ ; B и C₁
z
Точка О – середина BC
C₁
\\
\\
B₁
A₁
C
\\
\\
B
A
x
y
z
C₁
B₁
A₁
Приравнивая равенства (1) и (2), получим:
C
B
A
x
y
1. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между
прямыми DA₁ и BD₁.
Чертеж и подсказка
1. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми найдите
угол между прямыми D₁A и Е₁C, где D₁ и E₁ - соответственно
середины ребер A₁C₁ и B₁C₁.
Чертеж и подсказка
1. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между
прямыми DA₁ и BD₁.
D1
С1
В1
А1
D
А
С
В
Введем систему координат с началом
координат в точке А, осями координат –
прямые AB, AD, AA₁
1. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра
которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми найдите
угол между прямыми D₁A и Е₁C, где D₁ и E₁ - соответственно
середины ребер A₁C₁ и B₁C₁.
Решение.
Строим прямые DC₁ || AD₁ , DE||CE₁
E₁
C₁
D₁
B₁
A₁
E
C
B
D
A
Теория
Для вычисления угла между двумя прямыми, а также между прямой и
плоскостью удобно использовать скалярное произведение.
Теория
Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если
он лежит либо на прямой a , либо на прямой параллельной a.
a
A
B
1. Найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или
скрещивающимися), если известны координаты
направляющих векторов этих прямых.
Решение.
a
b