The k-server Problem

Задача о k официантах
(The k-server Problem)
Алгоритмы обрабатывающие вход по мере поступления
Козлов Вадим
гр.3539
6 октября 2005г.
Содержание
1.
2.
3.
Вступление и постановка задачи
Work-Function алгоритм
Главные результаты теории
2
Вступление
Постановка задачи
The k-server Problem
Постановка задачи


В некотором метрическом пространстве
k официантов располагаются в конкретных
точках
Заказы официантам




происходят от столиков (точек в пространстве)
обслуживаются немедленно: передвижением
какого-то официанта в точку заказа
Последовательность заказов r  r1r 2... , где ri
точка в M, конечна, но за ранее не известна
Требуется online алгоритм приводящий к
минимизации суммарных передвижений
4
с-оптимальность
Алгоритм А называется с-оптимальным
(c-competitive), если для любого r и для
любого opt выполняется неравенство
costA(r) < с · costopt(r) + а
где opt – некий оптимальный алгоритм

5
The k-server Problem
Развитие решающих алгоритмов



Сomplicated algorithm
kO(k)
(Fiat-Rabani-Ravid)
Harmonic algorithm
2k
(Grove)
Work-Function algorithm (WFA) 2k - 1
(Koutsoupias-Papadimitriou)
6
Work-Function
algorithm
Work-Function algorithm
Определения




Состояние системы – множество координат
столиков, у которых стоят официанты
r  r1r 2...rn - последовательность заказов
Рабочая функция Wr(X) – функция,
сопоставляющая состоянию X наименьшую
стоимость обслужить r из начального состояния
A0, придя в X
Стоимость – суммарное пройденное
расстояние.
(наименьший путь определяется оптимальным
offline алгоритмом, т.е. знающим r)
8
Work-Function algorithm



Находимся в состоянии X
Приходит (i+1)-ый заказ r
(ρ=r1r2…ri - предыдущие)
Выбираем такое X', чтобы минимизировать
Wr ( X ' )  D( X , X ' )
D ( X , X ' ) - стоимость оптимального
перехода из состояния X в X'
9
Главные результаты
теории
Главные результаты теории1


Почему достигается минимум
Wr ( X ' )  D( X , X ' )
Лемма: a  X : X '  X  a  r
11
Главные результаты теории2
заметим
W  W - старая рабочая функция
W'  Wr - новая рабочая функция
W'(A)  min {W'(A  a  r)  D(r,a)} 
aA
 min {W(A  a  r)  D(r,a)  W(A)
aA
12
Главные результаты теории3



W называется квазивыпуклой, если для любого
состояния А и В существует биекция h : А —> В
такая, что для любого разбиения А на
мультимножества X и Y, справедливо
W(A) + W(B) > W(X + h(Y)) + W(h(X) + Y)
Смысл заключается в том, что А можно
переделать в В (параллельно переделывая В в
А) "маленькими шажками", не увеличивая
суммарную работу.
Лемма: Все рабочие функции квазивыпуклы
13
Главные результаты теории4

Состояние А назовем минимизатором
точки а относительно W, если на нем
достигается минимум
W ( A)  xA D( x, a)

Лемма: Если А — минимизатор для r
относительно Wρ, то А — минимизатор
для r относительно Wρr
14
Главные результаты теории5

Теорема:
Work-Function algorithm является
(2k-1)-оптимальным, т.е.
costA(r) < (2k-1) · costopt(r) + а
15
Вопросы
16
Ссылки



Конспект лекций Э.А.Гирша
http://logic.pdmi.ras.ru/~hirsch/students/effalg
/031210_190933.pdf
Решение задачи
http://www.icsi.berkeley.edu/~yairb/courses/o
n-line/scribes/lec8-9.ps
Решение задачи гармоническим методом
www.cse.cuhk.edu.hk/~cslui/RANDOMIZED/
kserver.ppt
17