Предисловие к исследованию функций свойств функций с применением производной 10 класс

Предисловие к исследованию функций
свойств функций с применением
производной
10 класс
Автор: Г.Г. Лукьянова
«Рано или поздно всякая
математическая идея находит
применение в том или ином
деле.»
А.Н.Крылов
В чем состоит геометрический смысл
производной?
f ' ( x0 )  tg ( )  k
Значение
производной
в точке х0
Тангенс угла
наклона
касательной к
положительному
направлению оси
ОХ
Угловой
коэффициент
касательной
Касательная наклонена под тупым
углом к положительной оси ОХ,
y
y = f(x)
х0
x
следовательно, производная в этой точке
отрицательна.
Касательная наклонена под острым
углом к положительной оси ОХ,
y
y = f(x)
x
следовательно, производная в этой точке
положительна.
Касательная параллельна оси ОХ,
y
y = f(x)
х0
x
следовательно, производная в этой точке
равна нулю.
Касательная наклонена под прямым
углом к положительной оси ОХ,
y
y = f(x)
х0
x
следовательно, производная в этой точке
не существует.
Задачи из ЕГЭ (В8)
На рисунке изображены графики функции y=f(x) и касательной к
нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной
функции f(x) в точке х0 .
f ' ( x0 )  tg 
2
 0.25
8
Задачи из ЕГЭ (В8)
На рисунке изображены графики функции y=f(x) и касательной к
нему в точке с абсциссой х0 . Найдите значение производной
функции f(x) в точке х0 .
f ' ( x0 )  tg  
9
 0.75
12
Задачи из ЕГЭ (В8)
На рисунке изображен график y=f’(x) - производной функции
f(x), определенной на интервале (-6;7). Найдите количество точек,
в которых касательная к графику функции f(x) параллельна
прямой y=3x-14 или совпадает с ней.
Ответ: 3 точки
Задачи из ЕГЭ (В8)
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на
интервале (-7;5). Найдите количество точек, в которых
производная функции f(x) равна нулю.
Ответ: 8 точек
Точки экстремума:
х3 - max
х4 – min
х6 - min
Точки экстремума:
х1 – min
x5 -max
у
у=f(x)
x1
x2
x3
x4
x5
x6
х
f’(x)
f(x)
-
не сущ.
+
=0
+
=0
-
=0
+
не сущ.
-
=0
+
x
Результаты исследования.
Т12
Пусть
функция f(x)
f(x) непрерывна
дифференцируема
Пусть функция
на [a;b]в и
некоторой
окрестности
точки x0 (a;b).
, кроме,
может
дифференцируема
на интервале
Тогда,
если
быть
, и непрерывна
в точке
x0 . –
f’(x)>0самой
для точки
всех xx0Є(a;b),
то функция
y=f(x)
Тогда:
возрастает на [a;b], а если f’(x)<0, то она убывает на
1)
Если
f’(x0)=0 или не существует и при переходе
этом
промежутке.
через точку x0 меняет свой знак с «-» на «+», то
x0 – точка минимума функции y=f(x).
2) Если f’(x0)=0 или не существует и при переходе
через точку x0 меняет свой знак с «+» на «-», то
x0 – точка максимума функции y=f(x).
Задачи из ЕГЭ (В8)
На рисунке изображён график функции y=f’(x) – производной
функции y=f(x), определённой на интервале (-13;4). Найдите
промежутки убывания функции y=f(x). В ответе укажите длину
большего из них.
Ответ:
Задачи из ЕГЭ (В8)
На рисунке изображён график функции y=f’(x) – производной
функции y=f(x), определённой на интервале (-3;9). В какой точке
отрезка [4;8] функция f(x) принимает наименьшее значение?
Ответ: