геометрической прогрессией

Геометрическая прогрессия
Формула n-го члена
Урок1
Цель урока :
-усвоить понятие геометрической прогрессии;
- вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии;
-применять на практике полученные знания.
Задание для групповой работы
1.Вставьте пропущенное число:
I группа:
1) 18, 21, 24, 27?
2) 2,?, 6,…
3) 1, 3, 9, 27,?
II группа :
1) 7, 10, 13, 16?
2) 9,?, 21,…
3) 5, 10, 20, 40,?
III группа :
1) 4, 9, 14, 19?
2) 3,?, 13,…
3) 2, 6, 12, 24?
2. Объясните, какой прогрессией является каждый пример?
Определение геометрической прогрессии
Числовую последовательность, все члены которой отличны
от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из
предыдущего члена умножением его на одно и то же число q,
называют геометрической прогрессией.
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (bn ),
заданная рекуррентно соотношениями
b1  b, bn  bn 1  q, n  2,3,4,...
где b и q – заданные числа, b1  0, q  0.
,
Определение геометрической прогрессии
Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить,
является ли она геометрической прогрессией?
Можно.
Если отношение любого члена последовательности к предыдущему
члену постоянно (т.е.),то перед вами— геометрическая прогрессия.
b2 : b1  b3 : b2  b4 : b3  ...
Пример1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
Это геометрическая прогрессия, у которой b1= 1, q = 3.
3,
3 3 3 3
, , ,
,... .
2 4 8 16
Пример2.
1
Это геометрическая прогрессия, у которой b1= 3, q = 2.
Bиды геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия является :
-возрастающей последовательностью,
если b1>0,q>l,
-убывающей последовательностью, е
сли b1>0,0<q<l.
Если в геометрической прогрессии отбросить все члены,
следующие за bn, то получится конечная геометрическая прогрессия
Определим вид прогрессий рассмотренных ранее в примерах
Пример1. 1, 3, 9, 27, 81,... .
Пример2. 3,
возрастающая
убывающая
3 3 3 3
возрастающая
, , ,
,... .
убывающая
2 4 8 16
Формула п-го члена геометрической прогрессии
Рассмотрим геометрическую прогрессию
2; 6; 18, 54, ... со знаменателем q=3.
6  23
b2  b1  q
18  6  3  2  3  3  2  32
b3  b2  q  b1  q  q  b1  q 2
54  18  3  2  32  3  2  33
..........................................
b4  b3  q  b1  q 2  q  b1  q 3
............................................
b7  b6  q  b1  q 6
bn  bn 1  q  b1  q n 1
bn  bn 1  q  b1  q
n 1
Между числами 1 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе
с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
Решение:
1.Составление математической модели.
1) b1 , b2 , b3 , b4 , b5 - геометрическая прогрессия;
2) 1, b2 , b3 , b4 ,81.
2.Работа с составленной математической моделью.
Воспользовавшись формулой n-го члена , имеем
b5  b1q 4 , q 4  b5 , q 4  81, q  3. Теперь можем записать
b1
геометрическую прогрессию, о которой идет речь в задаче:
1,3,9,27,81 или 1,-3,9,-27,81.
3. Ответ на вопрос задачи.
Между числами 1 и 81 требуется вставьте три числа, чтобы они
вместе с данными числами образовалась геометрическая прогрессия.
Это 3,9,27 или -3,9,-27.
Задачник
1 .Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи:
I группа:
II группа:
a)(Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г,
масса которого за сутки уменьшается вдвое.
Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи?
На пятые?
б)(Экономика)Срочный вклад, положенный в сберегательный
банк, ежегодно увеличивается на 5%.Каким станет вклад
через 5 лет, если вначале он был равен
1000р.?
III группа: в)(Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три.
Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд?
Задачник
2. Какие из приведенных ниже последовательностей
являются геометрическими прогрессиями и почему?
а) 3, 9, 27, 81, 243, ... ;
6)3,6,9,12,15,...;
3.
в) xn  4n  3;
г)
xn 
3
.
n
2
Какие из приведенных геометрических прогрессий
являются возрастающими, какие — убывающими?
а) 3,9, 27, ... ;
1
4
,
1
,
,...;
в)
4
б)-2, 8,-32, ... ;
г)
3 2 3
,1,
,... .
2
3
Задачник
4.Найдите указанный член геометрической прогрессии (bn)
по заданным условиям:
1
а) b1  2, q  1 , b4  ?
2

1
2
б) b1  5 5 , q  5 , b4  ?
5. Найдите знаменатель и первый член геометрической
прогрессии (bn), если:
а) b3  12, b5  48 ( q  0);
б) b2  24, b5  81;
6. Между числами 2 и 162 вставьте три таких числа, чтобы они
вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
Задачник (дополнительные задачи)
7. Дана конечная геометрическая прогрессия (bn).
Найдите п, если известны b1, q, bn :
a)
1
1
1
b1  , q  , bn 
;
3
3
729
1
б) b1  2,5, q  , bn  4 10 3.
5
8. Найдите знаменатель и первый член геометрической
прогрессии (bn), если:
1
13
б) b7  192, b5  48 (q  0); г) b3  3 , b5   .
4
24
9.Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 90%.
Каким станет вклад через 3 года, если вначале он был равен 800р.?
Домашнее задание
1.§8 п.18 (Алгебра 9 класс, под редакцией С.А.Тедяковского).
2.№ 387, 388,391,395,398.
3.Подготовить краткое сообщение о математиках, занимавшихся
исследованием геометрических прогрессий.
Урок окончен
«До свидания»