16. Особые точки

§16. Изолированные особые
точки
п.1. Изолированные особые точки
однозначной аналитической функции.
Точка z 0 называется изолированной особой
точкой однозначной функции f (z ) , если
существует окрестность этой точки, в которой
эта функция аналитична всюду, кроме самой
точки z0 .
Пусть z 0 является изолированной особой
точкой функции f (z ).
R  0 такое, что в кольце
0 | z  z0 | R
функция f (z ) будет аналитической.
Тогда существует
По теореме Лорана функция f (z ) в этом
кольце может быть разложена в ряд


cn ( z  z0 ) , 0 | z  z0 | R. (1)
n 
n
Возможны три случая
1) Разложение (1) не содержит членов с
отрицательными степенями ( z  z0 ).
Тогда точка z 0 называется устранимой особой
точкой функции f (z ).
2) Разложение (1) содержит конечное число
членов с отрицательными степенями ( z  z0 ).
Тогда точка z 0 называется полюсом
функции f (z ).
3) Разложение (1) содержит бесконечное число
членов с отрицательными степенями ( z  z0 ).
Тогда точка z 0 называется существенно
особой точкой функции f (z ).
п.2. Устранимая особая точка.
Теорема 1.
Если точка z 0 является устранимой особой
точкой аналитической функции f (z ) , то
существует конечный предел
lim f ( z ).
z z0
Доказательство.
По условию теоремы разложение функции f (z )
в ряд Лорана в некоторой окрестности точки z 0

имеет вид
f ( z) 
 cn ( z  z 0 ) ,
n
n 0
0 | z  z0 | R.
Тогда степенной ряд

 cn ( z  z 0 )
n
n 0
сходится в кольце | z  z0 | R.
Сумма этого ряда является аналитической
функцией в этом круге (см. п.2 §12), а значит и
непрерывной.
В частности, эта функция непрерывна в
точке z0 .
Тогда функцию f (z ) можно доопределить в
точке z 0 так, чтобы она была непрерывной в
этой точке.
Положим
f ( z0 )  c0 .
Значит, по определению непрерывной
функции существует конечный предел
lim f ( z )  c0 .
z  z0
Замечание 1.
Из существования конечного предела
lim f ( z )
z z0
следует, что в некоторой окрестности
устранимой особой точки z 0 функция
ограничена по модулю.
f (z )
Теорема 2.
Если функция f (z ) , аналитическая в
круговом кольце
0 | z  z0 | R,
ограничена по модулю, то точка z 0 является
устранимой особой точкой функции f (z ).
Доказательство.
По условию теоремы существует такое
число M  0, что выполняется неравенство
| f ( z ) | M , 0 | z  z0 | R.
Выберем число
 0
так, чтобы окружность
C : | z  z0 | 
принадлежала кольцу
0 | z  z0 | R.
Тогда из формул для коэффициентов ряда
Лорана (см. формулы (6) §15)
1
cn 
2i
f ( )
 (  z0 )
d

,
n

0
,

1
,

2
,...,
n1
C
получаем следующие оценки
1
| cn |
2

C
| f ( ) |
1
2 M
| d | 
 M  n1  n , n  0,1,2,...
n1
2
|   z0 |


Рассмотрим последние равенства
при n  1,2,...
Перепишем их в виде
| cn | M , n  1,2,...
n
Так как cn не зависят от  , то переходя к
пределу при   0 , получим
| cn | lim M  0, n  1,2,...
n
 0
Поэтому, разложение Лорана не содержит
главной части.
Значит, точка z 0 является устранимой особой
точкой функции f (z ).
п.3. Полюс.
Теорема 3.
Если точка z 0 является полюсом
аналитической функции f (z ) , то
lim f ( z )  .
z  z0
Доказательство.
По условию теоремы разложение функции f (z )
в ряд Лорана в некоторой окрестности точки z 0
имеет вид
f ( z) 


cn ( z  z 0 ) n 
n 0
cm
c1
c2


 ... 
, 0 | z  z0 | R, (2)
2
m
z  z 0 ( z  z0 )
( z  z0 )
cm  0.
Замечание 2.
Если m  1, то полюс z 0 называется простым.
Если m  2, то полюс z 0 называется кратным.
Число m называется порядком полюса.
Вынесем в правой части равенства (2)
m
множитель ( z  z0 ) за скобки:
1
 
nm
f ( z) 
c ( z  z0 ) 
m  n
( z  z0 )  n  0
c1 ( z  z0 )
m 1
 c2 ( z  z0 )
m2
 ...  c m  .
Обозначим сумму ряда через  ( z ).
Это будет аналитическая в круге | z  z0 | R
функция и
 ( z0 )  c m  0.
Тогда
 ( z)
f ( z) 
, 0 | z  z0 | R.
m
( z  z0 )
Отсюда следует, что
lim f ( z )  .
z  z0
(3)
Правая часть (3) представляет собой
степенной ряд, свободный член которогоcm
 0.
Значит, точка z 0 является устранимой особой
точкой функции ( z  z0 ) m  f ( z ).
При этом
lim ( z  z0 )  f ( z )  cm  0.
m
z  z0
Следовательно,
lim | z  z0 |  | f ( z ) || cm | 0.
m
z  z0
(4)
Пусть q — положительное число такое, что
q | cm | .
Тогда из (4) следует, что в некотором
достаточно малом круге с центром в точке z 0
выполняется неравенство
| z  z0 |  | f ( z ) | q  0.
m
или
| f ( z ) |
q
| z  z0 |
Отсюда следует, что
m
 0.
п.4. Связь между нулем и полюсом.
Теорема 4.
Если точка z 0 является нулем порядка m
(полюсом порядка m) функции f (z ), то эта
точка будет полюсом порядка m (нулем
порядка m, если считать 1 / f ( z0 )  0 ) функции
1
.
f ( z)
Доказательство.
1) Пусть z 0 — нуль порядка m функции
Воспользуемся представлением (3):
f (z ).
 ( z)
f ( z) 
,  ( z0 )  0, 0 | z  z0 | R.
m
( z  z0 )
Отсюда имеем, что
1
1
m
 ( z  z0 )
,  ( z0 )  0.
f ( z)
 ( z)
Это означает, что z0 — нуль порядка m
функции 1/ f ( z ).
п.5. Случай бесконечно удаленной
точки.
Бесконечно удаленная точка комплексной
плоскости является изолированной особой
точкой однозначной аналитической
функции f ( z ) , если функция f ( z ) аналитична
во внешности некоторого круга, т.е. в области
| z | R, R  0.
Так как функция f ( z ) аналитична в кольце
R | z | , то ее можно разложить в ряд Лорана
f ( z) 

c z ,
n
n 
n
R | z | .
(5)
Как и в случае конечной изолированной
особой точки выделим три случая.
1) Ряд Лорана (5) не содержит членов с
положительными степенями z, т.е. имеет вид:

c n
f ( z )  c0   n .
n 1 z
В этом случае точка z   называется
устранимой особой точкой.
2) Точка z   называется полюсом m-го
порядка, если разложение (5) содержит не более,
чем m членов с положительными степенями и
m
cm  0 , т.е.
n
f ( z) 
c z
n 
n
, R | z | .
3) Если разложение (5) содержит бесконечное
число членов с положительными степенями z,
то бесконечно удаленна точка называется
существенно особой точкой функции f (z ).
Главной частью ряда Лорана в окрестности
точки
z
называется совокупность членов с
положительными степенями z.
Правильной частью ряда Лорана в
окрестности точки z  
называется совокупность членов с
неположительными степенями z.
Пример. Исследовать характер бесконечно
удаленной точки следующих функций.
1)
1
f ( z) 
.
z 1
Разложим функцию в ряд Лорана в
окрестности точки z   :


1
1 1
1
 

.
z  1 z 1  1 n1 z n
z
По определению, бесконечно удаленная точка
является устранимой особой точкой.
2)
f ( z)  z  2 z .
7
2
По определению, бесконечно удаленная точка
является полюсом (7-го порядка).
3)
f ( z)  e , f ( z)  sin z, f ( z)  cos z.
z
Бесконечно удаленная точка является
существенно особой точкой (самостоятельно).
Замечание 3.
Так как поведение функции f (z ) в окрестности
точки z   аналогично поведению
функции  ( ) в окрестности точки   0 , то
все доказанные утверждения для устранимой
особой точки, полюса и существенно особой
точки остаются в силе и в случае бесконечно
удаленной точки.