Презентация по математике

Научно - исследовательская работа
«Геометрическая мозаика
на плоскости»
Работу выполнил
Ильичёв Евгений
ученик 11 класса
Руководитель
Ильичёва Н.И.
учитель математики
Введение.
Мозаики с древних времён
привлекали к себе внимание людей.
Мозаики являются объектом
исследования математиков.
Результаты здесь получены
отечественными учёными
академиками А. Д. Александровым, Б.
Н. Делоне, Е. С. Фёдоровым.
Цели исследования :
1.
2.
3.
Закрепить знания о свойствах
правильных многоугольников в
процессе исследования вопроса о
покрытии плоскости правильными
многоугольниками.
Обосновать с помощью
математических фактов, как можно
уложить мозаику на плоскости вокруг
одной точки без просвета.
Убедиться в практической
значимости исследуемой гипотезы.
Проблема



Как устроена геометрическая
мозаика на плоскости?
Из скольких разных фигур
правильных многоугольников
можно сложить мозаику на
плоскости вокруг одной точки
без просвета?
Выяснить значимость
изучаемой работы в нашей
жизни.
Что такое мозаика?
Математик, так же как и
художник или поэт,
создает узоры.
(Г. Харди.)
Мозаика – это
бесконечное семейство
многоугольников,
покрывающее
плоскость без просветов
и двойных покрытий.
Мозаика производит
приятное впечатление,
если она достаточно
симметрична.
Красивую мозаику можно составить из
равносторонних треугольников, квадратов и из
правильных многоугольников.



При схождении в одной вершине 7 и более
многоугольников хотя бы один угол в правильном
многоугольнике должен быть менее 60 , что невозможно.
При схождении в одной вершине 2 многоугольников у
одного из них внутренний угол должен быть более 180 ,
что, очевидно, также невозможно.
Решение задачи распадается на анализ тех вариантов,
когда в вершине сходятся 3, 4, 5 и 6 правильных
многоугольников.
Вокруг одной точки можно
уложить плоскость без просвета:
С помощью одноимённых правильных
многоугольников:
1.
4 правильными четырехугольниками
(квадратами);
―
―
3 правильными шестиугольниками;
―
6 правильными треугольниками.
С помощью 6 правильных
треугольников
n – число сторон правильного
многоугольника, тогда
( n – 2 ) · 180 – сумма всех внутренних
углов многоугольника и
( n – 2 ) · 180/n – каждый угол
правильного многоугольника.
n  2 180  180  60
n
3
Если n = 3, то
значит это возможно сделать
правильными треугольниками и их число
равно
360 : 60 = 6 .
С помощью 4 квадратов
Если n = 4, то
n  2 180  360  90
n
4
значит
это
возможно
сделать
четырехугольниками и их число равно
360 : 90 = 4
правильными
С помощью 3 шестиугольников
Если n = 6, то
n  2 180  4 180  120
n
6
значит
это
возможно
сделать
правильными шестиугольниками и
их число равно
360 : 120 = 3
Вокруг одной точки можно
уложить плоскость без просвета:
2. С помощью правильных многоугольников
двух различных форм:

3 треугольниками и 2 четырёхугольниками;

4 треугольниками и 1 шестиугольником;

2 треугольниками и 2 шестиугольниками;

1 четырёхугольником и 2 восьмиугольниками;

1 треугольником и 2 двенадцатиугольниками.
С помощью 3 треугольников и 2 квадратов
n – количество треугольников,
m – количество квадратов,
тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство
60n+90m=360.
Если n = 3, то 90m = 360 - 60·3;
90m = 180;
m = 2.
Вокруг одной точки можно
уложить плоскость без просвета:
3. С помощью правильных многоугольников
трех различных форм:



1 треугольником, 2 четырёхугольниками и
1 шестиугольником;
2 треугольниками, 1 четырёхугольником и
1 двенадцатиугольником;
1 четырёхугольником, 1 шестиугольником и
1 двенадцатиугольником .
С помощью 1 треугольника,
2 квадратов и 1 шестиугольника.
n – количество треугольников,
m – количество четырёхугольников,
k – количество шестиугольников,
тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство
60n+90m+120k =360.
Если n = 1, m =2, то 120k = 360- 60·1- 90·2;
120k = 120;
k =1.
Мозаики в природе
Проявление свойств мозаик
сказываются на свойствах
различных природных
минералах и кристаллов.
Форму геометрических
мозаик имеют соты
мёдоносных пчёл. Ячейки
сота имеют правильную
шестигранную форму.
Применение
Геометрическая мозаика широко встречается и
используется:

в строительстве и ремонте жилых помещений;

в спортивных играх;

в декоративно - прикладном искусстве;
Заключение

В вершине мозаики может сходиться
не более 6 и не менее 3правильных
многоугольников.

Существует только конечное число мозаик: 11.
«Геометрия как один из разделов математикиэто не только стройная система законов,
но и уникальное средство познания мира».