Двоичная система счисления

Двоичная система счисления
Информатика 9 класс
Табличные вычисления на компьютере
Здесь вы узнаете:
♦ как компьютер работает с числами;
♦ что такое электронная таблица;
♦ как решаются вычислительные задачи;
♦ с помощью электронных таблиц;
♦ как можно использовать электронные таблицы для информационного моделирования.
§ 16. Двоичная система счисления
Основные темы параграфа:
♦ десятичная и двоичная системы счисления;
♦ развернутая форма записи числа;
♦ перевод двоичных чисел в десятичную систему;
♦ перевод десятичных чисел в двоичную систему;
♦ арифметика двоичных чисел.
В данной главе речь пойдет об организации вычислений на компьютере. Вычисления связаны с хранением и
обработкой чисел.
Компьютер работает с числами в двоичной системе счисления.
Эта идея принадлежит Джону фон Нейману, сформулировавшему в 1946 году принципы устройства и работы ЭВМ.
Выясним, что такое система счисления.
Десятичная и двоичная системы счисления
Системой счисления называют определенные правила записи чисел и связанные с ними способы выполнения
вычислений.
С историей систем счисления вы познакомитесь в главе 7 учебника. А пока нас будут интересовать двоичная и
десятичная системы счисления.
Система счисления, к которой мы все привыкли, называется десятичной. Объясняется это название тем, что в ней
используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число цифр определяет основание системы счисления. Если
число цифр — десять, то основание системы счисления равно десяти. В двоичной же системе существует всего две
цифры: 0 и 1. Основание равно двум. Возникает вопрос, можно ли с помощью всего двух цифр представить любую
величину. Оказывается, можно!
Развернутая форма записи числа
Вспомним принцип записи чисел в десятичной системе счисления. Значение цифры в записи числа зависит не
только от самой цифры, но и от места расположения этой цифры в числе (говорят: от позиции цифры). Например, в
числе 333 первая справа цифра обозначает: три единицы, следующая — три десятка, следующая — три сотни. Этот
факт можно выразить равенством:
33310 = 3 · 102 + 3 · 101 + 3 · 100 = 300 + 30 + 3.
В данном равенстве выражение, стоящее справа от знака «равно», называется развернутой формой записи
многозначного числа. Вот еще пример развернутой формы записи многозначного десятичного числа:
825710 = 8 · 103 + 2 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100 = 8000 + 200 + 50 + 7.
Таким образом, с продвижением от цифры к цифре справа налево «вес» каждой цифры увеличивается в 10 раз. Это
связано с тем, что основание системы счисления равно десяти.
Перевод двоичных чисел в десятичную систему
А вот пример многозначного двоичного числа:
1101012.
Двойка внизу справа указывает на основание системы счисления. Это нужно для того, чтобы не перепутать
двоичное число с десятичным. Ведь существует же десятичное число 110101! Вес каждой следующей цифры в
двоичном числе при продвижении справа налево возрастает в 2 раза. Развернутая форма записи данного
двоичного числа выглядит так:
1101012 = 1 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 5310.
Таким способом мы перевели двоичное число в десятичную систему.
Переведем в десятичную систему еще несколько двоичных чисел.
102 = 21 = 2;
1002 = 22 = 4;
100002 = 24 = 16;
10002 = 23 = 8;
1000002 = 25 = 32 и т. д.
Таким образом, получилось, что двузначному десятичному числу соответствует шестизначное двоичное! И это
характерно для двоичной системы: быстрый рост количества цифр с увеличением значения числа.
Вот как выглядит начало натурального ряда чисел в десятичной (А10) и двоичной (А2) системах счисления:
A10
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
A2
1 10 11 100
101
110
111
1000
1001
1010
A10 11
12
13
14
15
16
A2 1011 1100 1101 1110 1111 10000
17
10001
18
10010
19
10011
20
10100
Перевод десятичных чисел в двоичную систему
Как перевести двоичное число в равное ему десятичное, вам должно быть понятно из рассмотренных выше
примеров. А как осуществить обратный перевод: из десятичной системы в двоичную? Для этого нужно суметь
разложить десятичное число на слагаемые, представляющие собой степени двойки. Например:
1510 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 11112.
Это сложно. Есть другой способ, с которым мы сейчас и познакомимся.
Существует процедура, позволяющая легко выполнить перевод десятичного числа в двоичную систему. Она
состоит в том, что данное десятичное число делится на 2. Полученный остаток — это младший разряд искомого
числа. Полученное частное снова делится на 2, полученный при этом остаток — это следующий разряд искомого
числа. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше двойки (основания системы). Это частное —
старшая цифра искомого числа.
Существуют два способа записи деления на 2. Продемонстрируем это на примере перевода числа 37 в двоичную
систему.
Здесь а5, а4, а3, а2, а1, а0 — обозначения цифр в записи двоичного числа по порядку слева направо. В результате
перевода получим: 3710 = 1001012.
Арифметика двоичных чисел
Правила двоичной арифметики гораздо проще правил десятичной арифметики. Вот все возможные варианты
сложения и умножения однозначных двоичных чисел.
0+0=0
0x0=0
0+1=1
0x1=0
1+0=1
1x0=0
1 + 1 = 10
1x1=1
Своей простотой и согласованностью с битовой структурой компьютерной памяти двоичная система счисления и
привлекла изобретателей компьютера. Ее гораздо проще реализовать техническими средствами, чем десятичную
систему.
Вот пример сложения столбиком двух многозначных двоичных чисел:
1011011101
+111010110
10010110011
А теперь посмотрите внимательно на следующий пример умножения многозначных двоичных чисел:
1101101
x
101
1101101
1101101
1000100001
После небольшой тренировки любой из вас такие вычисления будет выполнять автоматически.
Коротко о главном
Система счисления — определенные правила записи чисел и связанные с этими правилами способы выполнения
вычислений.
Основание системы счисления равно количеству используемых в ней цифр.
Двоичные числа — числа в двоичной системе счисления. В их записи используются две цифры: 0 и 1.
Развернутая форма записи двоичного числа — это его представление в виде суммы степеней двойки, умноженных
на 0 или на 1.
Использование двоичных чисел в компьютере связано с битовой структурой компьютерной памяти и простотой
двоичной арифметики.
Вопросы и задания
1. Назовите преимущества и недостатки двоичной системы счисления по сравнению с десятичной.
2. Какие двоичные числа соответствуют следующим десятичным числам:
128; 256; 512; 1024?
3. Чему в десятичной системе равны следующие двоичные числа:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. Переведите в десятичную систему следующие двоичные числа:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. Переведите в двоичную систему счисления следующие десятичные числа:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. Выполните сложение в двоичной системе счисления:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. Выполните умножение в двоичной системе счисления:
111 · 10; 111 · 11; 1101 · 101; 1101 · 1000.