Интерпретация отношений между геометрическими фигурами
advertisement
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ, ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ КОМПОЗИЦИЯМИ ДВИЖЕНИЯ Тербалян А.А., г.Астрахань, ученик 9 класса МБОУ «Лицей №3», artoymterbalyan@mail.ru Научный руководитель - Левина Е.Г.,г.Астрахань учитель математики МБОУ «Лицей№3», tavifaa@yandex.ru Использование свойств движений и их композиций при решении задач, составляет основное содержание данной работы, представляет собой применение одной из интерпретаций геометрии Евклида. В данной работе точка интерпретируется центральной симметрией относительно этой точки, прямая – осевой симметрией относительно этой прямой, т. к. множество точек и прямых плоскости изоморфно множеству центральных и осевых симметрий. Отношения принадлежности, перпендикулярности, параллельности и другие, инвариантные относительно движений, интерпретируются теоретико- групповыми отношениями. Эта интерпретация используется при решение задач и доказательстве теорем в данной работе. При этом решение новым способом часто оказывается проще традиционного решения. Всё выше сказанное определяет актуальность данной работы. Целью работы является применение теоретико-групповых свойств движений к решению задач. Для достижения цели были поставлены следующие задачи 1. познакомится с понятием группы, её простейшими свойствами, рассмотреть группы движений , группы самосовмещения фигур. 2. составить словарь перехода от отношений евклидовой геометрии к отношениям между композициями движений. 3. Применить полученный словарь к решению геометрических задач теоретико-групповым методом. Предметом исследования является применение построенной интерпретации к решению геометрических задач. Объектом является интерпретация некоторых отношений евклидовой геометрии с помощью теоретико-групповых отношений. Метод исследования -метод математического моделирования. Гипотеза: можно предположить что решение задач теоретико-групповым способом гораздо быстрее приводит к получению необходимого результата т.е. является более рациональным. Как известно, преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками. [1] Результат последовательного применения двух движений называется их композицией.[3] По определению множество А называется группой, если в нём определена какая-либо бинарная операция и если выполняется условие замкнутости, существования обратного элемента, ассоциативности, существования единичного элемента.[2] Рассмотрим решение следующей задачи. Произвольная точка плоскости преобразуется в новую точку центральной симметрией относительно О1, получившаяся точка относительно О2, новаяотносительно О3, далее-относительно О1, потом относительно О2 и, наконец, относительно О3. Доказать, что после шести преобразований точка возвращается в исходное положение. Решение: (традиционный способ) Соединим Х'' и Х, затем Х 2 и Х''', Х и Х''', Х'' и Х2, Х1 и Х'. ∆О2Х''X2= ∆O2X'X1(X1O2=O2X2, X'O2=O2X'', ∠ Х1О2Х'= ∠ Х2О2Х'') следовательно X''X2=X1X', ∠ 1= ∠ 2 следовательно X''X2║X1X'. ∆O1XX'''=∆O1X'X1→XX'''=X1X', ∠ 3= ∠ 4 следовательно XX'''║X1X'. Значит, XX'''=X2X'' и XX'''║X2X'' следовательно XX''X2X'''-параллелограмм с точкой пересечения диагоналей О3. Значит, точки Х, О3, Х2 принадлежат одной прямой и ХO3=X2O3 Значит после последнего преобразования относительно О3 точка возвращается в исходное положение. Решение способ 2 (теоретико групповой метод): O○O2○O1=O, O3○O2○O1○O3○O2○O1=O○O=E Видим что второе решение значительно короче первого. [4] В заключении можно добавить что исследование позволяет убедится в большой значимости метода математического моделирования. Различные интерпретации Евклидовой геометрии показывают многообразие подходов к решению математических задач. Таким образом открывается возможность выбора более удачного пути решения той или иной задачи. В данной работе применяется теоретико-групповой способ решения геометрических задач, который нередко гораздо рациональней традиционного. Литература: 1. geometry.ru 2. Александров П.С. Введение в теорию групп. М.: наука, 1980. 144с 3. Аммосова Н.В. Движения фигур на плоскости, их приложения и композиция движений. Математика в школе, 1987 №3. С. 25-29.
