задачи и решения - Школьные олимпиады по математике

Городская олимпиада по математике
2 класса
1. В выражении 4+5+6+7+8 уберите 3 символа так, чтобы
значение оставшегося выражения равнялось 69.
Решение и ответ: 4+57+8=69
2. Таблицу размером 4×4 клеточки разбейте на
доминошки (прямоугольники 1×2) и раскрасьте в три
цвета так, что каждая доминошка граничила только с
доминошками двух других цветов.
Решение и ответ: см.рис.
3. Разрежьте «елочку» на 4 части так,
чтобы из них можно было сложить
прямоугольник.
Решение
и
ответ:
Достаточно
разрезать на две
части. Если одну
из
них
перевернуть, то
она соединяется с другой в прямоугольник. Для разрезания на 4
части достаточно разрезать каждую имеющиеся на любые две
части.
4. У Васи есть шоколадка прямоугольной формы размером 5 на 6
долек. Вася хочет разрезать ее на 12 частей так, чтобы можно было
разделить поровну и между 5 друзьями, и между 6 друзьями.
Получится ли это у Васи? Ответ обоснуйте.
Решение и ответ: Сначала разрежем шоколадку на пять
прямоугольников 1×6. В каждом отрежем одну дольку. Получим
5 прямоугольников 1×5 и 5 долек 1×1. Чтобы разделить поровну
между 5 друзьями надо выдать каждому по прямоугольнику 1×5
и 1×1. Чтобы разделить поровну между 6 друзьями надо выдать
каждому по прямоугольнику 1×5, а одному 5 долек 1×1.
5. Перед матчем по футболу между 1А классом и 1Б классом
классные руководители сделали следующие прогнозы:
1) будет забито нечетное количество голов.
2) 1Б выиграет
3) будет ничья
4) 1А не проиграет
Всего в матче было забито шесть голов, и ровно два прогноза
оказались верными. С каким счетом и какая команда выиграла?
Свой ответ обоснуйте.
Напоминаем, что четными называются числа, которые делятся на
два, 0 - четное число.
Решение и ответ: Первый прогноз точно неверен так, как забито,
было 6 голов, а 6 это четное число. Если второй прогноз верен, то
третий неверен так, как 1Б выиграет и ничьей не будет. Также
будет неверен и четвертый, потому что тогда команда 1А
проиграет. Итого получаем три неверных прогноза. Значит второй
прогноз неверен. Тогда два последних верны. Значит случится
ничья и счет будет 3:3.
Городская олимпиада по математике
3 класса
1. В выражении 4×5×6×7×8×9 зачеркните 4 символа так, чтобы значение
оставшегося выражения равнялось 2016. Символ × означает умножение.
Решение и ответ: 4×56×9=2016
2. Разбейте прямоугольник 5×7 клеток на семь
равных по форме фигур из 5 клеток и раскрасьте
фигуры в три цвета так, чтобы все три цвета
присутствовали и каждая фигура граничила с фигу
рами ровно двух других цветов.
Решение и ответ: см.рис.
3. Разрежьте елочку
на 5 частей так, чтобы
из них можно было
сложить квадрат.
Решение
и
ответ: см.рис.
4. У
Ивана
Ивановича дома трое
часов:
часы
со
стрелками механические, часы со стрелками
электронные, часы электронные с табло. Иван
Иванович ушел на работу в 8:00 утра. Когда вечером вернулся домой, увидел,
что часы со стрелками механические показывают 07:23, часы со стрелками
электронные − 16:14, часы электронные с табло − 04:04. От соседей Иван
Иванович узнал, что один раз выключали электричество. Определите, во сколько
выключили электричество и во сколько включили. Свой ответ обоснуйте.
Механические часы не зависят от электричества, электронные со стрелками
останавливаются, когда нет электричества, электронные часы с табло
останавливаются, когда нет электричества, и начинают идти с 00:00 после
включения электричества.
Решение и ответ: Время проведенное Иваном Ивановичем на
работе можно поделить на три части: 1) От ухода на работу до
выключения электричества, 2) время когда не было
электричества и 3) время с момента включения электричества до
прихода Ивана Ивановича домой. Время на механических часах
это 1)+2)+3). Время на электронных часах со стрелками это
1)+3). Время на электронных часах с табло это 3). Нам требуется
найти время 1) и время 1)+2). Время 1)+2) легко получить,
вычитая из времени на механических часах время на
электронных часах с табло. Получим 15:19. Время 1) легко
получить, вычитая из времени на электронных часах со
стрелками время на электронных часах с табло. Получаем 12:10.
5. Перед матчем по футболу между 1А классом и 1Б классом классные
руководители сделали следующие прогнозы:
1) будет забито нечетное количество голов.
2) 1Б выиграет
3) будет ничья
4) 1А не проиграет
5) прогноз номер один верный
В результате ровно два прогноза оказались верными. Какая команда выиграла?
Свой ответ обоснуйте.
Напоминаем, что четными называются числа, которые делятся на два, 0 четное число.
Решение и ответ: Утверждения 1) и 5) верны или не верны
одновременно. Если они оба верны, то больше верных прогнозов
нет. Значит прогнозы 2), 3), 4) не верны. Но тогда 1А проиграет, а
значит 1Б выиграет. Противоречие. Значит утверждения 1) и 5) не
верны. Тогда из утверждений 2), 3), 4) верных ровно два, а не
верных одно. Если 3) не верно, то 2) и 4) верно, но они
противоречат друг другу. Значит утверждение 3) верно. Получаем,
что ответ в задаче в матче была ничья.
Городская олимпиада по математике
4 класса
1. Разрежьте тортик на четыре равные части по сторонам клеток так, чтобы в
каждом кусочке было
ровно две свечки. Свечки
обозначены кружочками.
Приведите два разных
примера
разрезания.
Фигуры
называются
равными,
если
они
совпадают при наложении.
Решение и ответ: см.рис.
2. Четыре девочки и четыре мальчика пришли на вечеринку. В каждом танце
принимали участие двое: одна девочка и один мальчик. В какой-то момент их
спросили, сколько танцев они станцевали с начала вечеринки. Четыре мальчика
ответили: 10, 0, 3, 3. Три девочки ответили: 10, 4, 2. Что ответит четвертая девочка?
Свой ответ обоснуйте.
Решение и ответ: Каждый мальчик танцевал с девочкой.
Поэтому суммарное количество танцев мальчиков равно
суммарному количеству девочек. У мальчиков 16. Три девочки
станцевали тоже 16 танцев. Значит, четвертая танцевала 0 раз.
3. Раскрасьте фигуру в четыре цвета
так, чтобы области, которые имеют
общую границу, были покрашены в
разный цвет. Докажите, что не нарушая
этого правила, фигуру нельзя покрасить в
три цвета.
Решение и ответ: см.рис.
4. У Ивана Ивановича дома трое
часов: часы со стрелками механические,
часы со стрелками электронные, часы
электронные с табло. Иван Иванович
ушел на работу в 8:00 утра. Когда
вечером вернулся домой, увидел, что часы со стрелками механические показывают
07:23, часы со стрелками электронные − 16:14, часы электронные с табло − 04:04. От
соседей Иван Иванович узнал, что один раз выключали электричество. Определите, во
сколько выключили электричество и во сколько включили. Свой ответ обоснуйте.
Механические часы не зависят от электричества, электронные со стрелками
останавливаются, когда нет электричества, электронные часы с табло
останавливаются, когда нет электричества, и начинают идти с 00:00 после включения
электричества.
Решение и ответ: Время проведенное Иваном Ивановичем на
работе можно поделить на три части: 1) От ухода на работу до
выключения электричества, 2) время когда не было
электричества и 3) время с момента включения электричества
до прихода Ивана Ивановича домой. Время на механических
часах это 1)+2)+3). Время на электронных часах со стрелками
это 1)+3). Время на электронных часах с табло это 3). Нам
требуется найти время 1) и время 1)+2). Время 1)+2) легко
получить, вычитая из времени на механических часах время на
электронных часах с табло. Получим 15:19. Время 1) легко
получить, вычитая из времени на электронных часах со
стрелками время на электронных часах с табло. Получаем
12:10.
5. Перед матчем по футболу между 1А классом и 1Б классом классные
руководители сделали следующие прогнозы:
1) будет забито нечетное количество голов.
2) 1Б выиграет
3) будет ничья
4) 1А не проиграет
5) прогноз номер один верный
В результате четное количество прогнозов оказались верными. Какая команда
выиграла? Свой ответ обоснуйте.
Напоминаем, что четными называются числа, которые делятся на два, 0 - четное
число.
Решение и ответ: Разберем три случая.
1. 2 верных ответа. Этот случай разобран в задаче 3.5.
2. 0 верных ответов. Тогда по утверждению 4) 1А проиграет, а
значит 1Б выиграет, но по утверждению 2) 1Б не выиграет.
Противоречие.
3. 4 верных ответа. Утверждения 1) и 5) верны или не верны
одновременно. Оба не верны быть не могут (ведь в этом случае
останется не более трех верных ответов). Значит 1) и 5) верны.
Тогда из утверждений 2), 3), 4) верных ровно два, а не верных
одно. Если 3) не верно, то 2) и 4) верно, но они противоречат
друг другу. Значит утверждение 3) верно. Получаем, что ответ в
задаче в матче была ничья.
5 класс. Комментарии и решения
1. Барон Мюнхгаузен утверждает, что может вырезать из фигуры, показанной на рисунке
справа, квадрат 2  2, а оставшуюся часть разрезать на три равные части. Не врет ли барон?
(Части называются равными, если их можно наложить друг на друга.)
Ответ не врет. Решение см на рисунке.
2. Килограмм яблок стоил целое число рублей, меньшее 100. Продавец поменял местами
цифры на ценнике. В результате цена яблок увеличилась на одну пятую часть от
первоначальной цены. Сколько стоили яблоки до подорожания?
Ответ. 45 рублей. Решение. Пусть до подорожания яблоки стоили ab рублей. Тогда после
подорожания они стали стоить ba рублей. Так как по условию цена возросла на одну пятую, то 1,2 (10a +
b) = 10b + a. Отсюда a = 0,8b. Так a и b – цифры, то единственный возможный вариант – a = 4, b = 5.
Критерии. Только ответ: 1б.
Ответ с проверкой: 3б.
Если было указано соображение делимости на 5, без дальнейшего продвижения +2б.
Решения, где доказывалась, что последняя цифра равна 5, а дальше был перебор только больших или
меньших чисел: 6б.
3. Мальчики всегда говорят правду другим мальчикам и врут девочкам, девочки всегда говорят правду
девочкам и врут мальчикам. Как-то раз 12 детей сели вокруг круглого стола. Каждый мальчик сказал соседу
справа: «слева от меня сидит мальчик». Каждая девочка сказала соседу справа: «слева от меня сидит
девочка». Сколько мальчиков было за столом, если там был хотя бы один мальчик и хотя бы одна девочка.
Ответ. 6 мальчиков. Решение. Фраза каждого ребенка означает, что рядом с ним сидят дети одинакового
пола. Так как есть мальчик, то через одного от него сидят тоже мальчики, тогда есть хотя бы 6
мальчиков. Аналогично есть 6 девочек. Значит детей поровну.
Критерии. Только ответ: 1б.
Ответ с примером: 3б.
4. Вася и Петя живут в одном и том же подъезде, но на разных этажах. Отправляясь в школу, они почти
одновременно вызывают лифт. Лифт приходит по вызову, если свободен. Когда лифт занят, он
останавливается по вызову в том и только том случае, если проходит вниз. (Лифт занят с момента вызова и до
выхода всех пассажиров.) В понедельник Вася вызвал лифт раньше, чем Петя, и они приехали на первый этаж
вместе. Во вторник Вася снова вызвал лифт первым, но они приехали вниз порознь. В среду первым вызвал
лифт Петя. Во всех случаях лифт был свободен. Вместе или порознь Вася и Петя приедут на первый этаж, или
это нельзя определить?
Ответ. Нельзя определить. Решение. Условию может соответствовать ситуация, при которой Петя
живет на шестом этаже, а Вася на восьмом этаже. В понедельник Петя мог вызвать лифт в тот
момент, когда Вася ехал вниз, но еще не доехал до Пети. А во вторник – когда Вася уже был ниже 6 этажа.
А может, наоборот, Петя живет на восьмом этаже, а Вася – на шестом. В понедельник Петя мог
вызвать лифт, когда лифт сверху ехал к Васе и еще не проехал мимо 8 этажа. А во вторник – когда лифт
ехал к Васе и уже находился ниже.
Мы видим, что мальчики могут приехать как вместе, так и порознь в обоих случаях: и когда первым
вызвал лифт живущий выше, и когда первым вызвал лифт живущий ниже. Следовательно, в среду они
могут приехать как вместе, так и порознь.
Комментарий. В этом решении показывается, что нельзя определить, кто живет выше. Однако, даже
если бы было известно, кто живет выше, то все равно нельзя было бы определить как они приедут.
Например, в первом случае решения (когда Вася живет ниже), в среду они могут приехать вместе (если
лифт не успел проехать Васю) или порознь (если лифт успел проехать Васю).
Критерии. Описывается ситуация, как мальчики могут приехать по разному в зависимости от
расположения лифта или от времени вызова: 3б.
5. В классе учатся 20 мальчиков и 14 девочек. Однажды трое детей из этого класса сделали следующие
утверждения. Катя: "У каждого мальчика в нашем классе в два раза больше друзей среди мальчиков, чем
среди девочек". Рома: "В нашем классе нет двух девочек, имеющих одинаковое число друзей среди
мальчиков". Маша: "В нашем классе нет трех мальчиков, имеющих одинаковое число друзей среди девочек".
Докажите, что кто-то из них ошибся.
Решение. Предположим, что все дети сказали правду. Тогда из слов Кати следует, что у каждого мальчика
не больше 9 друзей среди девочек. Тогда для того чтобы Машино утверждение было истинным,
необходимо, чтобы количества друзей у всех мальчиков среди девочек совпадали с набором 0, 0, 1, 1, …, 9, 9.
Это означает, что число пар мальчиков и девочек, являющихся друзьями, равно 2 × (0 + 1 + … + 9) = 90. Но
если утверждение Ромы тоже верно, то таких пар не меньше 0 + 1 + … + 13 = 91. Полученное противоречие
доказывает, что кто-то из детей ошибся.
Критерии. Утверждения о том, что количество друзей мальчиков совпадает с набором 0, 0, 1, 1, …, 9, 9 (и
близкие по смыслу) без дальнейших продвижений: 1б.
6 класс. Комментарии и решения
1. Костя и его родители родились 1 апреля. 1 апреля 2013 года Костя стал в 4 раза моложе мамы, а 1 апреля
2014 года – в 4 раза моложе папы. Кто из Костиных родителей старше и на сколько лет?
Ответ. Папа старше мамы на 3 года Решение. Пусть в 2013 году Косте было x лет, тогда маме было 4x
лет. В 2014 году Косте стало x + 1 лет, маме 4x +1 лет, а папе – 4x + 4 лет. То есть папа старше мамы на
3 года.
Критерии. Только ответ 1б.
Ответ с проверкой при конкретном возрасте Кости 2б.
Решения с обозначениями возрастов, аналогично нашему решению, без дальнейшего продолжения 3б.
2. В ряд стояли дети в следующем порядке: Миша, Даша, Гриша, Наташа, Саша, Маша, Лёша. Каждый
выдал по ореху каждому из стоящих правее него. Количество орехов у девочек не изменилось.
Определите, является Саша мальчиком или девочкой?
Ответ. Саша - мальчик. Решение. Заметим, что Даша получила столько орехов, сколько Маша отдала и
наоборот. Наташа отдала и получила по 3 ореха. А вот число полученных орехов у Саши 2, отданных – 4
или наоборот. Если Саша – девочка, то тогда девочки отдали не столько орехов, сколько получили. А если
Саша мальчик, то в обоих случаях (стоят слева направо или справа налево) всё сходится.
Критерии. Только ответ 0б.
Решение при конкретных первоначальных значениях: 2б.
Утверждение, что «если Саша девочка, тогда количество орехов у девочек изменится на 2» без
обоснования 3б.
3. Расставьте в клетки квадрата 3×3 девять различных натуральных чисел так, чтобы произведения чисел
четырех квадратах 2х2 оказались одинаковыми.
4. Какое наибольшее число пятиклеточных крестов (рисунок справа) можно вырезать из шахматной
доски? Разрезы разрешено делать только по границам клеток.
Ответ: 8. Решение: Всего 64 клетки, каждый крестик покрывает пять клеток. Заметим,
что к каждой стороне квадрата может прилегать не более двух крестиков. Значит, из
граничных клеток хотя бы 20 останутся непокрытыми. Значит, крестики будут
покрывать не более 44 клеток. Тогда их будет не более, чем 44:5, т. е. не более восьми.
Критерии. Только ответ 0б.
Ответ с примером 2б.
Утверждение, что «в верхней строке занято не более двух клеток» без дальнейшего прожвижения +2б.
5. Шахматную доску разбили на двухклеточные доминошки, после чего конь обошел все клетки доски,
побывав в каждой ровно по разу. Назовем весом доминошки количество ходов, которое сделал конь между
ее клетками. Могут ли веса всех доминошек оказаться равными?
Ответ. Нет. Решение. Пронумеруем все клетки доски в порядке обхода конём. Будем обозначать
доминошку парой чисел, которые стоят в её клетках. Предположим, что веса всех доминошек равны k.
Тогда есть доминошка (1, k + 1). После нее конь оба раза должен пойти в одну и ту же доминошку и т.д.,
т.е. есть доминошки (2, k + 2), …, (k, 2k). После этого, возможно, идут доминошки (2k + 1, 3k + 1), (2k + 2, 3k
+ 2), …, (3k, 4k) и т.д. Таким образом, все доминошки разбиваются на группы по k доминошек.
Следовательно, общее количество клеток, равное 64, кратно k. Так как 64 – степень двойки, то k – тоже
степень двойки, то есть либо равно 1, либо чётно. Но вес каждой доминошки больше 1 и нечётен,
поскольку цвета клеток доминошки различны. Противоречие.
Критерии. Только ответ 0б.
Доказательство того, что вес нечетен 2б.
Утверждение, что вес делит 64: +2б.
Решение при весе 32: 3б