Геометрия Планиметрия (от греч. – наука о

Геометрия (от греч. «землемерие») – наука о
свойствах геометрических фигур.
Планиметрия – раздел геометрии, в котором
изучаются свойства фигур на плоскости.
Основные понятия планиметрии: точка и прямая.
m
M 
Стереометрия
– раздел геометрии, в котором
изучается свойства фигур в пространстве
Основные понятия стереометрии

А
а

КУБ
Тетраэдр
B1
D
C1
A1
D1
В
С
А
D
В1
A
C
B
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
С1
А1
D1
С
В
А
D
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
А 1 :Через любые три точки, не лежащие
на одной прямой, проходит плоскость, и
притом только одна.

 В
А


С
А 2: Если две точки прямой лежат в плоскости,
то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В
А


А 3: Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей.


а

Т 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит
плоскость, и притом только одна.
Дано: а ,М  а
Док-ть: (а, М) 
Q
Р

а

М

Док-во:
1. Р  а, Q  а
2.Точки М, Р и Q не лежат на одной прямой    (по А 1)
3. По А1 эта плоскость единственная.
чтд

Т 2: Через две пересекающиеся прямые проходит
плоскость, и притом только одна.
Дано: а  b = М
Док-ть: (а, b)  
а
N


b
M
Док-во:
1. N b, М  N
2.   (N, а) ( по Т 1)
3. Т.к. М  , N 

b  (по А 2)
   (а, b)
4. Любая плоскость, проходящая через а и b, проходит
через N, т.е. совпадает с   единственность плоскости.
чтд

Аксиомы стереометрии
ABCD - параллелограмм
АМ = MD, AK = КВ
AD = 14
А
К
Е
D



В
1. Построить
М
С

точку пересечения прямой МК и плоскости .
2. Вычислить расстояние от этой точки до точек В и С.
Аксиомы стереометрии
Точки А, В, С и К не лежат в одной плоскости.

К

А


С
В
1. Пересекаются ли прямые АС и ВК?
2. Лежат ли в одной плоскости точки А, К, В?
3. Пересекает ли прямая АС плоскость КВС?

Аксиомы стереометрии
В пересекающихся плоскостях  и  взяты соответственно точки
А и В, которые не лежат на линии их пересечения (прямой с).
Точка М лежит на прямой с.

А
М
с



В

1. Построить линию пересечения плоскостей  и (МАВ).
2. Построить линию пересечения плоскостей  и (МАВ).
Задача 1. ABCD – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка
пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки A, D, O лежат
на плоскости .
M
Дайте ответы на вопросы с необходимыми
обоснованиями.
1. Лежат ли в плоскости  точки В и С?
2. Лежит ли в плоскости МОВ
точка D?
3. Назовите линию пересечения
плоскостей МОВ и ADO.
D
60 

А
4
С
О
В
4. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60.
Предложите различные способы вычисления площади ромба.
Задача 2. Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см. D  МВ,
Е  МС, F АВ, AF = FB, P  МА.
1. Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости:
а) МАВ и MFC;
М
б) MCF и ABC.
2. Найти длину отрезка CF и площадь
треугольника АВС.
 АВС – равносторонний, F – середина АВ.
P
6

DE  ВМС, ВС  ВМС  DE  ВС = К
F

Е
3. а) Объясните, как построить точку
пересечения прямой DE с плоскостью
АВС.
А
б) Постройте точку пересечения прямой PD
с плоскостью АВС.
К


D
С

6
В
PD  АВС = R
R

Задача 3. АВCDА1В1С1D1 - куб, К  DD1, DK = KD1.
1. Как построить точку пересечения прямой В1К
с плоскостью АВС.
2. Объясните, как построить линию
пересечения плоскостей АВ1К и ADD1.
Решение: 1. AKD (D = 90)
АК =
5
2
2. АВВ1 (В = 90), АВ = ВВ1 = а
АВ1 = а
2
D1
В
А
АК2 = AD2 + KD2 ( по теореме Пифагора)
а
С1
А1
3. Объясните, как построить линию
пересечения плоскостей АВ1К и ADC.
4. Вычислите длины отрезков АК и АВ1,
если AD = а
В1
К
С

а
D

P