Паутинообразная модель Рахманова И.О. Паутинообразная модель Постановка задачи Паутинообразная модель иллюстрирует простейший вариант взаимодействия фирмы с рынком Исходные предположения Производители в период t – 1 определяют объем предложения Qi S = QiS(Pt-1) следующего периода t, предполагая что цены периода t-1 сохранятся в период t Объем спроса QiD = QiD(Pt) зависит от уровня цен текущего периода Паутинообразная модель Постановка задачи Фирма выпускает продукт на рынок: S(t) – предложение фирмы в момент времени t по ценам предыдущего периода На рынке в момент времени t на продукт предъявляется спрос: D(t) – рыночный спрос на продукт фирмы по ценам текущего периода Паутинообразная модель Математическое описание Функции спроса и предложения неизменны во времени и линейны: Спрос D a b P (t ) Предложение S c d P(t 1) Время t = 0,1,2,…T -> ∞ Условие баланса спроса и предложения: a b P(t ) c d P (t 1), P (t ) P (t 1) PE Паутинообразная модель Математическая модель Уровень рыночной цены в любой момент 1 времени: P(t ) (a c d P(t 1)) b t P(t ) ( P0 PE )( d / b) PE – цена в начальный момент (t=0) PE – равновесная цена, при которой S=D P0 Равновесная цена определяется из условия PE =P(t)=P(t-1): a b PE c d PE PE (a c) /( d b) P(t) будет колебаться вокруг PE, так как: (-d/b)t >0 (-d/b)t <0 Параметры d и b характеризуют наклоны линий предложения S(t) и спроса D(t) Траектории P, D, S (-d/b)t -> 0 при t -> ∞, если |d/b| < 1, т.е. |d| < |b|. Абсолютный наклон линии S меньше наклона линии D, колебания постепенно затухают, нарушенное равновесие восстанавливается Рыночная цена будет приближаться к равновесной Траектории P, D, S |d| > |b|, абсолютный наклон линии спроса D больше наклона линии предложения S , отклонение от равновесия ведет к увеличению колебаний цен и объемов, все более удаляющихся от равновесного состояния. Рыночная цена будет удаляться от равновесной Траектории P, D, S |d| = |b|, абсолютные наклоны линий спроса и предложения одинаковы, всякое первоначальное отклонение ведет к колебаниям цен и объемов одинаковой амплитуды вокруг равновесного уровня Рыночная цена останется прежней Математическая модель с учетом случайных процессов Спрос: D(t ) a b P(t ) u (t ) Предложение: S (t ) c d P(t 1) v(t ) Условие равновесия S (t ) D(t ) w(t ) u(t), v(t), w(t) – случайные величины с известным распределением, м.о.=0 и известной дисперсией, w(t) - точность Математическая модель с учетом случайных процессов Из условия равновесия S=D следует: c d P(t 1) v(t ) a b P(t ) u (t ) w(t ) Решаем уравнение относительно P(t): 1 P(t ) (a u (t ) w(t ) c d P(t 1) v(t )) b Математическая модель с учетом случайных процессов Для дальнейшего исследования модели необходимо: задать P(0), применить датчики случайных чисел Модель с обучением Фирма будет планировать цены с учетом тенденций предыдущих периодов Планирует выпуск на момент t, ориентируясь на следующие цены: Модель с обучением Цена сегодня с учетом прошлых периодов: =const – значение, которое фирма придает P(t ) P(t 1) P(t 2) P(t 2) P(t 1) P(t 2) наблюдаемым колебаниям цен. Влияет на 0 1 сходимость к равновесию Должны быть заданы начальные условия: P(0), P(1) Модель с запасом В модель вводится дополнительная группа участников – коммерсанты, которые держат запас и организуют торговлю. Обозначим Q(t) величину запаса на складе в момент времени t. Q(t ) Q(t ) Q(t 1) S (t ) D(t ), т.к. Q(t ) Q(t 1) S (t ) D(t ). Модель с запасом Коммерсант устанавливает высокую цену, если запас уменьшился по сравнению со вчерашним, и уменьшает цену, если запас увеличился. Изменение цены происходит пропорционально изменению запаса. P(t ) P(t 1) Q(t 1), 0 Модель с запасом Функции спроса и предложения те же, но и спрос и предложение ориентируются на одну и ту же цену Q(t ) S (t ) D(t ) c d P(t 1) a b P(t ) Q(t 1) S (t 1) D(t 1) c d P(t 1) a b P(t 1). Q(t 1) c a (d b) P(t 1) Модель с запасом Формальная запись модели P(t ) (a c) (1 (d b) P(t 1) S (t ) c d P(t 1) D(t ) a b P(t ) Q(t ) S (t ) D(t ) Q(t 1)