ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (для групп Е8-01,02,Т831,32,32а,32б,37,70а, 70б) ( Примечание. Для групп Т8-32,32а,32б курс называется «Теория конденсированного состояния» ) Авторы: КАГАН Ю.М. , СОБАКИН В.Н. , ИВЛИЕВ С.В. Лектор: доцент Собакин В.Н. ЛЕКЦИЯ 1 .ЭЛЕКТРОННАЯ ВЕТВЬ ВОЗБУЖДЕНИЯ В КРИСТАЛЛАХ. ПЛАЗМЕННАЯ МОДЕЛЬ НЕПЕРЕХОДНОГО МЕТАЛЛА. ГАМИЛЬТОНИАН ЭЛЕКТРОН-ИОННОЙ СИСТЕМЫ. УСЛОВИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ И ЛОКАЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОНЕЙТРАЛЬНОСТИ. H T e V ee Ti Vii V ei , Ti 0 Гамильтониан системы Ионы тяжелые, их кин. энергию учитывать не будем 2 p Te 1 2m ZN Кинетическая энергия электронов 2 zN e 1 V ee 2 r r Энергия электрон – электронного взаимодействия В силу полноты набора экспоненциальных функций типа плоских волн любую функцию можно разложить в ряд Фурье. R q eiqR Разложение функции в ряд Фурье q 1 iqR q dRe R 1 zN 2 4 iq r r V ee e 2 e 2 1 q q 1 r r Оператор электронэлектронного взаимодействия 1 N 2 2 4 Vii z e 2 e q q 2 n n11 V ei V q e ei iq Rn Rn 1 iq r Rn ZN N 1 n 1 q “Операторность” Вклад дают q V ei заключена в координатах электронов. обратному расстоянию между частицами Система металла (как и любая устойчивая макроскопическая система в целом электронейтральна. Электроны могут (в принципе) собраться все в одной части металла, тогда она будет заряжена отрицательно, а кусок (область) , где электронов нет – положительно. Конечно, в реальности такого никогда не происходит. Чтобы избежать этой возможности при описании, потребуем локальной электронейтральности (чтобы нейтральными был любой, даже быть может, микроскопически малый объем). 1 iqR q dRe R q 0 1 --среднее значение 0 dR R 1 R Таким образом , во всех Фурье – разложениях нужно выделить вклад Фурье – компонент с q 0 . Но этот вклад аномален ( q стоит в знаменателе). 2 2 zN N zN N 1 4 1 4 z e lim 1 1 V q 0 1 ei 2 2 q 0 2 1 q 2 n n11 q 1 n 1 4 e Ze b 2 0 2 4 Vei q 0 q Aq Bq ... 2 q В этой формуле последние три слагаемые- некулоновские члены; первый член самый главный: расстояния большие это кулоновское взаимодействие (конкретный вид). q 0 N zN N b ZN N 4 e2 1 ZN 21 2 lim 2 1 Z 1 Z 1 1 0 q ; q 0 2 n n11 1 n 1 1 n 1 q 2 1 ; ZN 2 ZN ZN 1 ZN N ZN N N 2 1 N N n n1 1 1 n 1 Таким образом, выражение в фигурных скобках равно Z 2 N 2 ZN Z 2 N 2 Z 2 N 2 2 N 2 ... 2 2 2 2 Z N 2 Z Z Получаем 4 e 2 1 N b 2 lim 2 Z Z ZN 2 q 0 q 0 N 2 0 N 2 b b 2 3 0 q ... N ZN ZN 0 0 . Остался вклад только от одной ячейки (в первом слагаемом), второе слагаемое содержит N 1024 Первое слагаемое Второе слагаемое 1 , q 0; 2 q N - макроскопическое число. 1 1 lim 2 2 q0 q qmin L2 N 2 (!) 3 . q0 отвечает бесконечная длина волны; максимальная длина волны равна размеру кристалла qmin (всего ячеек N, L 2 max 1 L 1 N 1 3 – линейный размер) Второе слагаемое всегда >> первого в N 1 3 раз. L Мы использовали трехмерность системы. Для плоского (двумерного) кристалла первый член уже нельзя было бы выкинуть , следовательно, условие локальной электронейтральности систем пониженной размерности требует отдельного рассмотрения. Таким образом, с макроскопической точностью, Таким образом, с макроскопической точностью, H T e V ee Vii V ei T e V ee Vii V ei b ZN q 0 0 Рассмотрим ион-ионное взаимодействие . 4 z e 1 E V e 2 ii i q 0 2 q 0 q n n1 2 2 iq Rn Rn 1 При фиксированных n, n1 учитываются q , не превышающие 1 Rn Rn . 1 Ионная решетка, погруженная в электронную жидкость. Эта система чисто вспомогательная; мы предполагаем, что - жидкость остается неоднородной, несмотря на присутствие ионов. Суммарный заряд и дипольный момент равны нулю. ( заменили на сферическую ячейку того же объема – мы полностью разбили взаимодействие на N вкладов одной ячейки; от формы ничего не зависит) 4 2 0 R0 3 Выделенный электронный заряд взаимодействует с ионом и с окружающей электронной жидкостью Интегрируем по всей ячейке. Z 2e2 4 2 3 Z 2e 2 E1 R0 4 3 2 2 R 0 R0 3 (При расчете считаем , что ионы точечные! ) Для вспомогательных электронов не надо учитывать неточечность. Этот электронный заряд взаимодействует также и с остальными электронами из сферы. По теореме Гаусса, заряд, распределенный по сфере, эквивалентен точечному заряду в центре; E2 0 Ze Ze 4 dr r3 R0 2 r 3 3 2 2 r 0 0 Z e 4 4 dr 2 r r 0 3 0 E2 2 2 Z e 2 4 6 R 0 3 4 3 2 R05 5 R05 3 Z 2e 2 5 5 R0 Z 2e 2 1 1 9 Z 2e 2 E E1 E2 3 R0 2 5 10 R0 3 10 Энергия системы оказалась отрицательной. Таким образом, система с полностью скомпенсированным (погашенным) зарядом устойчива.