Теория пластин

Теория пластин


Основные понятия и гипотезы теории изгиба
анизотропных пластин.
Перемещения и деформации тонкой пластины
Основные понятия и гипотезы теории
изгиба анизотропных пластин

Пластина- призматическое или цилиндрическое тело, толщина которого h
мала по сравнению с другими габаритными размерами.
Для исследования напряженно-деформированного состояния пластин
введем систему координат x,y,z так, чтобы ось z была перпендикулярна
пластине (Рис.1).
Рис.1 Пластина
Основные понятия и гипотезы теории изгиба
анизотропных пластин
Таблица 1 Классификация пластин
Пластина
h/b
Наибольший прогиб
Тонкая
Толстая
Гибкая
1/5 ... 1/80
Менее h /А
Менее hIA
Более hIA
1/3 ... 1/5
Классификация теорий расчета
Техническая теория
Теория толстых пластин
Теория гибких пластин
или мембран
Классификация, предложенная Б.Г.Галеркиным, представлена в Таблице
1.

Любая плоскость, перпендикулярная оси z, является координатной
плоскостью.

Пересечение боковой поверхности пластины с координатной
плоскостью называется контуром.

Координатная плоскость, сохраняющая свои размеры при
деформировании пластин, называется срединной плоскостью.

Перемещение точек пластины в направлении z называется прогибом.
Основные понятия и гипотезы теории
изгиба анизотропных пластин



Гипотеза прямых нормалей: любой прямолинейный элемент,
нормальный к срединной поверхности, остается прямолинейным и
нормальным к срединной поверхности после деформирования пластины
(γyz=0, γxz=0) и длина его не изменится (εz=0).
Гипотеза недеформируемости срединной плоскости: , где u, ν –
перемещения точек плоскости пластины, zc – координата срединной
плоскости.
Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластины,
параллельными срединной плоскости, позволяет пренебречь
напряжениями σz по сравнению с напряжениями σх и σy
Перемещения и деформации тонкой
пластины
Исследуем геометрическую сторону задачи об изгибе пластины. Следуя 1-й
гипотезе, рассмотрим соотношения Коши:
z 
dw
0
dz
(1)
следовательно, прогиб w  w( x, y )не зависит от координаты z,
 w
w

 




0


 yz z y
 z
y




  u  w  0
 u   w
 xz z x
 z
x
w




z
 f 1  x, y 

y

u   z w  f  x, y 
2

x
(2)
Перемещения и деформации тонкой пластины
Для определения f1 и f2 воспользуемся 2-й гипотезой
w

0


z
 f 1  x, y 
c

y

0   z w  f x, y 
c
2

x
или
0  f1 x, y 

0  f 2 x, y 
(3)
(4)
Если выбрать систему координат x,y,z из условия zc=0; окончательно получим
w




z

y

u   z w

x
(5)
Таким образом, все компоненты перемещения точки пластины выражаются через
функцию прогиба w и через z - расстояние до срединной плоскости.
Перемещения и деформации тонкой пластин
Из 6 геометрических соотношений Коши 3 уже использовали для .
Выпишем оставшиеся соотношения
 z ,  xz ,  yz

u
2w
  z 2   zK x
 x 

x
x



2w
  z 2   zK y
 y 
y
x


u 
2w

 2 z
 2 K xy
 xy 

y x
xy
где Kx, Ky, Kxy - кривизны. Таким образом, все компоненты тензора
деформации определяются через функцию прогиба w  w( x, y )
(6)