Позиционные системы счисления

Системы счисления
Позиционные и
непозиционные системы
счисления.
Цель занятия
Изучить понятия позиционной и
непозиционной систем счисления.
Научиться записи чисел в
позиционных системах счисления.
Научиться переводить числа из
одной системы счисления в другую.
Система счисления – это способ
представления чисел и
соответствующие ему правила
действий над числами.
Символы для представления числовой
информации называются цифрами.
Системы счисления
Непозиционные
системы
Позиционные
системы
От положения знака в
изображении числа не
зависит величина,
которую он обозначает.
Величина,
обозначаемая цифрой в
записи числа, зависит
от ее позиции.
Например: VIII, XXI
Например: 138, 335
характеристика
В позиционных
системах счисления
значение каждой цифры
в изображении числа
зависит от ее положения
(позиции) в ряду других
цифр, изображающих
число, а в
непозиционных
системах счисления
каждый знак (цифра),
употребляемый для
записи чисел, всегда
означает одно и то же
число.
Примеры непозиционных
систем счисления:
унарная,
древнеегипетская,
римская, славянская
система нумерации.
Примеры позиционных
систем счисления:
десятичная, двоичная,
восьмеричная,
шестнадцатеричная,
шестидесятеричная.
НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ
Унарная (единичная)
Древнеегипетская десятичная
Римская
Алфавитные системы
счисления: Греческая,
славянская, финикийская и др.
Древнеегипетская десятичная
чтобы изобразить 3252
рисовали три цветка
лотоса (три тысячи),
два свернутых
пальмовых листа (две
сотни), пять дуг (пять
десятков) и два шеста
(две единицы). Величина
числа не зависела от
того, в каком порядке
располагались
составляющие его знаки:
их можно было
записывать сверху вниз,
справа налево,
вперемежку.
Римская система счисления
Символ
I
V
X L
C
D M
Значен
ие в
д.с.с.
1
5
10
100
500 1000
50
Mille
тысяча
Demimille
Половина
тысячи
Centum
сто
Полусотня
Две
сложенные
ладони
Раскрытая
ладонь
Один палец
Понятие
_______________
Чтобы записать число, римляне разлагали его на
сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусетен,
десятков, пятков, единиц.
Для записи промежуточных чисел римляне использовали
не только сложение, но и вычитание. При этом
применялось следующее правило: каждый меньший знак,
поставленный справа от большего, прибавляется к его
значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от
большего, вычитается из него. Т.е. запомните: числа
складываются при переходе от «большей» буквы к
«меньшей», например: VI= 5+1=6 (V>I); числа
вычитаются при переходе от «меньшей» буквы к
«большей»: IX=10-1=9 (I<X).
Алфавитная система счисления
числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до
90) и целые количества сотен (от 100 до 900)
обозначались буквами алфавита.
В алфавитной системе счисления Древней Греции
числа 1,2,…..,9 обозначались первыми девятью
буквами греческого алфавита, для обозначения
чисел 10,20,…..,90 применялись следующие 9 букв;
для обозначения чисел 100, 200, ….., 900 – последние
9 букв
В России славянская нумерация сохранилась до конца
17 века. При Петре I возобладала так называемая
арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас.
Славянская нумерация сохранилась только в
богослужебных книгах.
В Славянской системе нумерации роль цифр также
играли буквы алфавита, над которыми ставился знак титло
число 324 в славянской системе записывалось в
виде
Непозиционные системы счисления
имеют ряд существенных недостатков:
существует постоянная
потребность введения новых
знаков для записи больших чисел;
невозможно представлять дробные
и отрицательные числа;
сложно выполнять арифметические
операции, так как не существует
алгоритмов их выполнения – это
основной недостаток.
Позиционные системы
счисления:
Десятичная
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
шестидесятеричная
Пример десятичной системы
счисления
Представим число 156 в виде суммы
разрядных слагаемых:
156 = 1 * 10 + 5 * 10 + 6 * 10
Обозначим номер позиции каждой цифры
данного числа, начиная с 0-й, справа налево:
210
156 = 1 * 10 + 5 * 10 + 6 * 10
Заметим, что в данном разложении номер
позиции каждой цифры совпадает с
показателем степени, в которую возведено
число 10.
Число 10 является основанием
десятичной системы
счисления (для изображения
чисел в ней используется десять
цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
Основанием позиционной системы
счисления называется возводимое в
степень целое число, которое равно
количеству цифр, используемых для
изображения чисел в данной
системе счисления.
Название системы
Основание Цифры, используемые в
данной системе
Двоичная
2
0,1
Восьмеричная
8
0,1,2,3,4,5,6,7
Десятичная
10
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Шестнадцатерич
ная
16
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
A,B,C,D,E,F
Достоинства позиционной
системы счисления
простота выполнения
арифметических операций
ограниченное количество
символов (цифр), необходимых
для записи любых чисел.
Двоичная система счисления
В компьютерах используется двоичная
система счисления, т.к. она имеет ряд
преимуществ перед другими системами:
для ее реализации нужны технические устройства с
двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока,
намагничен – не намагничен и т.п.);
представление информации посредством только двух
состояний надёжно и помехоустойчиво;
возможно применение аппарата булевой алгебры
(логика) для выполнения логических преобразований
информации;
двоичная арифметика намного проще десятичной.
0 1
Недостаток двоичной системы –
быстрый рост числа разрядов,
необходимых для записи чисел.
Двоичная система счисления, является
минимальной системой, в которой
реализуется принцип позиционности в
цифровой форме записи числа. В
двоичной системе счисления значение
каждой цифры по месту при переходе от
любого данного разряда к следующему
старшему увеличивается вдвое.
Восьмеричная и
шестнадцатеричная системы
счисления
В компьютерах используется также
восьмеричная и шестнадцатеричная
системы счисления. Числа в этих
системах читаются легко, как и
десятичные, требуют соответственно в
три (восьмеричная) и в четыре
(шестнадцатеричная) раза меньше
разрядов, чем в двоичной системе (ведь
числа 8 и 16 соответственно третья и
четвёртая степени числа два).