Множество значений функции

Нахождение множества значений функции
(из опыта работы).
Нахождение множества значений заданной функции вызывает
наибольшую трудность у учеников. Поэтому все задания на нахождение
множества значений необходимо разделить на группы:
1.Если функция задана в элементарной форме, то для нахождения
множества значений нужно воспользоваться свойством этой функции.
1
2
Пример: Найти множество значений функции у= log 3 x
1
2
Решение. Т.к Е(log)=R ,а у= log 3 x
получается из графика функции у=log 3 x
путем сжатия по оси Оу в 2 раза, то область значений данной функции есть
вся числовая прямая.
Ответ:(-∞;+∞).
2.Существуют функции, у которых область определения содержит лишь
несколько значений аргумента. Тогда решение задачи на нахождение
множества значений сводится к нахождению области определения и
вычислению значений функции при этих аргументах.
Пример: Найти множество значений функций у=3х+  х4 -8.
Решение. Д(у): х 4  0, -х 4  0, а это неравенство выполняется только при
х=0.
Т.к. Д(у)={0}, то Е(у)={-8}.
Ответ: {-8}.
3.Существуют функции, которые можно оценить с помощью свойств
числовых неравенств. Это следующие функции.
1) у=|Р(х)|. По определению модуль числа всегда неотрицательна.
2) у=cos(кх+в).
у=sin(кх+в).
Эти функции непрерывные и ограниченные.
1
Пример: Найти множество значений функции у=2cos5х+8.
Решение: -1  cos5х  1,
-2  2cos5х  2,
6  2cos5х+8  10.
Ответ: [6;10].
3)у=а х .
Функция непрерывна и принимает только положительные значения, т.е.
ах> 0
Пример: Найти множество значений функции у=-2*3 3 х
Решение: 3 3 х > 0,
-2*3 3 х <0.
Ответ: (-∞;0)
4) Для нахождения множества значений обратных тригонометрических
функции нужно воспользоваться их свойством ограниченности и
непрерывности: -½π  arcsinх  ½π,
0  arccosх  π,
-½π <arctgх<½π,
0 <arcctgх<π.
Пример: Найти множество значений функции у=4 arccosх.
Решение: т. к. 0  arccosх  π, то 0  4*arccosх  4π.
Ответ: [0;4π].
5) Рассмотрим квадратичную функцию у=ах²+вх+с. При а>0 ветви
параболы направлены вверх, поэтому наименьшего значения функция
достигает при вершине , т.е. Е(у)= [п;+∞), где п- ордината вершины
параболы. При а<0 ветви параболы направлены вниз, таким образом
Е(у)=(-∞;п], где п- ордината вершины.
Пример: Найти множество значений функции у=х²-4х+3.
Решение. Найдем координаты вершины .
m=-
в
=2.
2а
п=у(2)=2²-4*2+3=-1.
2
а=1, 1>0, ветви параболы направлены вверх, поэтому Е(у)= [-1;+ ∞).
Ответ: [-1;+ ∞).
В части В примеры на нахождение множества значений функции или
наименьшего или наибольшего значений функции решаются применением
свойств монотонности функции. Они решаются в два этапа: сначала
исследуются «внутренняя» функция на наименьшее и наибольшее значения
на области определения данной функции или на указанном промежутке;
затем исследуется сама функция с учетом характера монотонности.
Пример: Найти наибольшее целое значение функции у=25*3 со 4 x*cos 3 x sin 4 x*sin 3 x  2
Решение. Д(у)=R.
Рассмотрим функцию у=25*3ª , это монотонно возрастающая функция.
Оценим показатель степени а(х)=cos4x*cos3x+sin4x*sin3x-2,
а(х)=cosx-2.
-1  cosx  1
-3  cosx-2  -1
3
3
3
25*3
3
сщыч  2
3
 25*3
1
сщыч  2
 25*3
1
25
1
 у8
27
3
Таким образом, наибольшее целое значение равно 8.
Ответ: 8.
Данная классификация функций поможет ученику при изучении темы
«Свойства функции».
Учительматематики
высшей квалификационной категории
МБОУ «Лицей №2 города Мамадыш»
Валеева Миляуша Хузеевна
3