Случайная величина (СВ)

Случайная величина
(СВ)
1
Случайная величина (СВ)
• СВ – количественная характеристика
случайного явления.
• Случайной называется такая
величина, которая в результате
опыта может принять то или иное
значение,
• причем заранее неизвестно, какое
именно.
2
Случайная величина (СВ)
• Обозначение СВ:
X ,Y , Z
• а ее возможные значения –
соответствующими малыми буквами с
индексами.
• Напр., возм. знач. СВ X: x1, x2,...,xn
• Для нас важно то, что результаты
любых измерений являются
случайными величинами.
3
Случайная величина (СВ)
• Каждое значение СВ есть случайное
событие.
• Все возможные значения СВ
составляют полную группу событий.
• Различают СВ двух типов – дискретные
(ДСВ) и непрерывные (НСВ)
4
Случайная величина (СВ)
• Дискретная (ДСВ) - такая СВ,
возможные значения которой:
• 1) принимают отдельные
изолированные значения;
• 2) их все можно указать заранее
численно, если их число конечно.
5
Случайная величина (СВ)
• Например,
• ДСВ X
– число попаданий при 3-х
выстрелах;
• Ее возможные значения : 0, 1, 2, 3.
• Число возможных значений ДСВ может
быть конечным и бесконечным.
6
Случайная величина (СВ)
• Непрерывная (НСВ) - такая СВ, возм.
значения которой:
• в принципе нельзя указать заранее
численно;
• можно указать лишь границы ее
изменения,
• т.е. отрезок, на котором находятся все
ее возможные значения.
7
Случайная величина (СВ)
• Например, НСВ
X – координаты
точек попадания при стрельбе в
мишень;
• ее возм. значения ограничены
размерами мишени.
• Или НСВ
Y – результаты
многократных измерений одной
величины;
• ее возм. значения непрерывно
изменяются в пределах точности
измерительного прибора
• Число возможных значений НСВ всегда8
бесконечно.
Случайная величина (СВ)
• Важнейшей и исчерпывающей
характеристикой СВ является:
•
закон распределения
вероятностей ее значений.
9
Закон распределения СВ
• Рассмотрим ДСВ X с n возможными
значениями x1 ,x2 , ...,xn .
• Они составляют полную группу
событий.
• Каждое из них СВ может принять с
некоторой вероятностью, т.е.:
P( X  x1 )  p1 ,
P( X  x2 )  p2 ,
•
...........................
P( X  xn )  pn
.
10
Закон распределения СВ
• В результате опыта эта СВ обязательно
примет только одно из этих значений.
• Если указать численно значения
вероятностей pi, то
• тем самым будет задан закон
распределения вероятностей СВ или
просто – закон распределения СВ.
11
Закон распределения СВ
• Законом распределения СВ называется
любое соотношение, устанавливающее
связь между ее возможными
значениями xi и соответствующими им
вероятностями pi.
• Про СВ говорят, что она подчинена
данному закону распределения.
12
Способы задания закона
распределения ДСВ
• 1. Численный способ – в виде
ряда распределения
xi
pi
x1
x2
…
p1
p2
...
n
p
i 1
i
xn
pn
1
13
Способы задания закона
распределения ДСВ
• 2. Графический способ – в виде
многоугольника распределения:
• Он строится по данным ряда
распределения
14
Способы задания закона
распределения ДСВ
• 3. Аналитический способ – в виде
формулы, позволяющей вычислять
вероятности отдельных значений СВ
• в зависимости от самих этих значений.
15
• Напр., формула Бернулли задает
биномиальный закон распределения
ДСВ X, где:
• X = k – число появлений события в
n испытаниях.
• Возможные значения этой СВ
•
k = 0,1, 2 ,…, n
,
• а вероятности этих значений
вычисляются по формуле Бернулли:
•
Pk  n   C p q
k
n
k
n k
.
16
• Имея аналитическое выражение закона
распределения СВ, всегда можно
получить ряд распределения.
• Так ряд распределения для
биномиального закона:
k 0
1
2
p P0( n ) P1( n ) P2( n )
• При этом всегда
•
...
n
...
Pn( n )
n
P
k 0
k( n )
1
.
17
Способы задания закона
распределения НСВ
• Для НСВ нельзя составить ряд
распределения, как для ДСВ,
• так как в принципе невозможно
перечислить все ее возможные
значения,
• принадлежащие отрезку [ a, b ] .
18
Способы задания закона
распределения НСВ
• Однако внутри этих границ разные
интервалы значений СВ имеют в общем
случае разные вероятности:
p1  p2  ...  pn
19
Способы задания закона
распределения НСВ
• Поэтому для НСВ:
• имеет смысл только вычисление
вероятностей попадания в соседние
интервалы
• и не имеет смысла вычисление
вероятностей отдельных ее значений
20
Способы задания закона
распределения НСВ
• Для НСВ возможен только
аналитический способ задания закона
ее распределения.
• Это должен быть такой способ, который
позволял бы легко вычислять
вероятности ее попадания в отдельные
интервалы.
• Такому требованию отвечает т.н.
функция распределения вероятностей
• или просто – функция распределения
21
СВ.
Способы задания закона
распределения НСВ
• Функция распределения СВ F(x)
• и связанная с нею плотность
вероятности f(x)
• – две формы аналитического
задания закона распределения
НСВ
22
Функция распределения
вероятностей
• Понятие функции F(x) распределения
СВ вводится в виде вероятности
случайного события,
• состоящего в том, что СВ X примет
значение левее точки x на числовой
оси, т. е.
F( x )  P( X  x )  P(   X  x )
23
Функция распределения
вероятностей
F( x )  P( X  x )  P(   X  x )
• где x – некоторая текущая
переменная, с изменением которой
меняется и значение функции F(x):
24
Функция распределения
вероятностей
• Определение.
• Функцией распределения СВ
называется вероятность того, что
СВ X примет значение меньше
заданного x .
• Ее называют также интегральным
законом распределения
• или интегральной функцией.
25
Свойства функции
распределения
• 1. F(x) есть неотрицательная функция,
заключенная между нулем и единицей,
т. е.
.
0  F( x )  1
• т.к. F(x) определена как вероятность
случайного события, а вероятность не
может быть отрицательной.
26
Свойства функции
распределения
• 2. Вероятность появления СВ в
интервале [  ,  ) , полузамкнутом
справа, равна разности значений
функции распределения в концах этого
интервала, т. е.
•
P(   X   )  F(  )  F(  )
.
27
Свойства функции
распределения
• Доказательство. Выберем на числовой
оси две точки  и  и рассмотрим
события:
• A   X   , B   X   , C    X  . 
• Очевидно, что
A BC
.
28
Свойства функции
распределения
• По теореме сложения вероятностей
несовместных событий можно написать:
•
P( A )  P( B )  P( C )
или
P( C )  P( A )  P( B )
,т.е.
P(   X   )  P( X   )  P( X   )  F (  )  F (  )
• поскольку
P( X   )  F (  )
,а
P( X   )  F (  )
согласно определению функции
распределения как
F( x )  P( X  x )
.
29
Свойства функции
распределения
• Замечание. Если будем неограниченно
уменьшать участок [  ,  ) , полагая,
например, что    ,
• то в пределе получим вероятность того,
что СВ примет отдельное значение :
P( X   )
• Если в точке  функция имеет разрыв
(ДСВ), то этот предел равен значению
скачка функции F( x ) в точке  .
30
Свойства функции
распределения
• Если же функция F( x ) в точке 
непрерывна (НСВ), то этот предел
равен нулю.
• Т.о., для НСВ вероятность любого
конкретного значения равна нулю, т. е.
•
P( X  x )  0.
31
Свойства функции
распределения
• 3. Функция распределения есть
неубывающая функция, т. е.
•
F( x2 )  F( x1 ) при
.
• Это свойство вытекает из свойства 2.
32
Свойства функции
распределения
• 4.
33
• Функция распределения вероятностей
существует как для НСВ, так и для ДСВ
– это универсальный
способ
задания закона их распределения.
34
• Для ДСВ функция распределения
имеет вид:
•
,
• где неравенство
под знаком
суммы означает,
• что суммирование распространяется на
все те значения xi СВ, которые
меньше заданного x .
35
Задача
• Производятся два выстрела по мишени.
• Вероятность попадания при одном
выстреле p = 0.3.
• Построить функцию распределения
числа попаданий.
36
Решение
• Имеем ДСВ
X  число попаданий при 2  х выстрелах.
• Построим для нее ряд распределения,
учитывая, что все возможные значения
этой СВ равны 0, 1 и 2, а вероятности
этих значений получим по формуле
Бернулли:
k k n k
q

1

p

0.3
•
,
где
P C p q
k( n )
n
37
Решение
• Ряд распределения:
k
0
1
2
pi 0.49 0.42 0.09
p1  P( X  0 )  C 0.3 0.7  0.49
0
2
0
2
p2  P( X  1 )  C 0.3 0.7  0.42
1
2
1
1
p3  P( X  2 )  C 0.3 0.7  0.09
2
2
2
0
38
Решение
• Для построения функции
распределения вычислим
несколько ее значений в таблице и
построим график функции
распределения.
39
Решение
График функции
№
x
1
0 F( 0 )   pi  0
2
pi  0.49
1 F( 1)  
x 1
3
4
F( x )
F( x )  P( X  x )
x 0
2 F( 2 )   pi  p1  p2  0.91
x2
2
k
0
1
2
pi 0.49 0.42 0.09
F(  2 )   pi  p1  p2  p3  1
x2
40
• График функции распределения любой
ДСВ величины есть всегда
прерывная ступенчатая линия
• Сумма ординат всех скачков равна
единице.
41
• С увеличением числа возможных
значений СВ и уменьшением
интервалов между ними
• число скачков становится больше, а
сами скачки меньше,
• – ступенчатая линия становится более
плавной.
• ДСВ постепенно приближается к НСВ,
• а ее функция распределения – к
непрерывной функции.
42
• График функции F(x) любого закона
распределения вероятностей имеет
одинаковый внешний вид:
•
43
Задача
• Дана функция распределения НСВ:
при x  1
0

F( x )  0.25( x  1 ) при 1  x  5
1
при x  5

• Найти вероятность попадания СВ в
интервал [ 1,2 ) и построить график
функции распределения.
44
Решение
• Вероятность попадания СВ в интервал
найдем по формуле
•
P(   X   )  F(  )  F(  ) ,
• т. е.
• P( 1  X  2 )  F( 2 )  F( 1 ) 
.
 0.25( 2  1 )  0.25( 1  1 )  0.25
45
Решение
• Для построения графика найдем:
xi
0
1
2
3
4
5
6
F ( xi )
0
0
0.25
0.5
0.75
1
1
46
Решение
• Построим график:
47
Плотность распределения
(плотность вероятности)
• Понятие плотности вероятности –
функция f ( x ) – вводится только для
НСВ
• и определяется как:
f ( x )  F ( x ).
48
Плотность распределения
(плотность вероятности)
• Функция f ( x ) характеризует как бы
плотность, с которой распределяется
СВ в данной точке.
• Поэтому ее и называют плотностью
распределения или плотностью
вероятности, а также
дифференциальным законом
распределения СВ.
49
Плотность распределения
(плотность вероятности)
• Кривая, изображающая плотность
вероятности, называется кривой
распределения.
• Кривая распределения для разных
законов имеет разную форму,
• Это более наглядно отражает различие
между законами.
50
Плотность распределения
(плотность вероятности)
• Например:
• Но, несмотря на различие графиков, общие
свойства функции f ( x ) одинаковы для всех
законов распределения.
51
Свойства плотности
вероятности
•
•
•
1. Плотность вероятности
неотрицательна, т. е. f ( x )  0 ,
т.к она определена как производная от
неубывающей функции F( x ) .
Геометрически это свойство
означает, что кривая распределения
лежит не ниже оси абсцисс.
52
Свойства плотности
вероятности
•
2.
x
F( x ) 

f ( x )dx

•
что очевидно из определения функции
распределения:
F( x )  P( X  x )  P(   X  x )
53
Свойства плотности
вероятности
• Геометрически на графике функции f ( x )
функция F ( x ) численно равна
площади:
54
Свойства плотности
вероятности
•
3. Вероятность попадания СВ на
участок [  ,  ) равна

P(   X   )   f ( x )dx

55
Свойства плотности
вероятности
• Геометрически эта вероятность
численно равна площади криволинейной
трапеции с основанием   .
56
Свойства плотности
вероятности
• Положив   x и   x  dx , получим
узкий прямоугольник, площадь которого
называется элементом
f ( x )dx
вероятности.
57
Свойства плотности
вероятности
• 4.



f ( x )dx  1
.
• Это свойство следует из свойства 2 и
из того, что F(  )  1 .
58
Свойства плотности
вероятности
• Геометрически это означает, что вся
площадь, между кривой распределения
и осью абсцисс, равна единице:
59
Задача
• СВ подчинена закону распределения с
плотностью вероятности
0.5 sin x при 0  x  
f(x)
при x  0 и x  
0
• 1. Построить график плотности;
• 2. Вычислить вероятность попадания
СВ на участок от 0 до 0.25 ;
• 3. Найти функцию распределения СВ
60
Решение
• 1. Для построения графика найдем ряд
значений функции f ( x ) :
xi
0 0.25 0.5 0.75 
f ( xi ) 0
0.35 0.5 0.35
0
61
Решение
• Построим график плотности
62
Решение
• 2. Вычислим вероятность попадания в
заданный интервал по формуле

•
,
P(   X   )  f ( x )dx
• где   0 , а

  0.25
:
63
Решение
P( 0  x  0.25 ) 
0.25 

0.5 sin xdx 
0
0.25 
 0.5

0.25 
sin xdx  0.5cos x 0

0
 0.5( 0.707  1 )  0.147.
64
Решение
• 3. Найдем функцию распределения по
формуле
x
F( x ) 

f ( x )dx

65
Решение
• Получим:
x
F( x ) 


x
f ( x )dx   f ( x )dx 
0
x
  0.5 sin x dx   0.5cos x 0 
x
0
 0.5(cos x  cos0 )  0.5( 1  cos x )
66
Решение
• И окончательно:
ï ðè x  0
0

f ( x )  0.5( 1  cos x ) ï ðè 0  x  
1
ï ðè x  

67