Тригонометрические уравнения

Тригонометрические
уравнения
Выполнил ученик 10 «П»
класса Антонов Антон
Проверила: Петрова Г.А.
Цель проекта:



Подготовка к ЕГЭ
Научится решать
тригонометрические уравнения
Проверить свои знания


Решение тригонометрических
уравнений сводится, в конечном
итоге, к решению простейших
тригонометрических уравнений sin
x=a, cos x=a,
tg x=a с
помощью различных
преобразований.
Прежде чем рассматривать
примеры, выделим некоторые типы
тригонометрических уравнений.
1.Уравнения asin² x+bcos x +c=0 и
acos² x+c=0 сводятся к квадратным
уравнениям относительно t=cos x и
t=sin x.
3sin²x-4sinxcosx+cos²x=0 /cos²x
Если cosx=0 то 3sin²x=0 
3tg²x-4tgx+1=0
tgx=1
tgx=1/3
x=arctg1/3+ Пn
x=П/4+ Пn
2. Однородное уравнение
asin² x+bcos x sinx+cos²x=0, где а не равен 0,
равносильно уравнению
аtg² x+btgx+c=0
.
6sin²x+4sinxcosx-1=0
sin²x+cos²x=1
5sin²x+4sinxcosx-cos²x=0 /cos²x
5tg²x+4tgx-1=0
tgx=1/5
tgx=-1
X=arctg1/5+Пn
x=- П/4+ Пk
3. Уравнение acos x+bsin x = c, где abc не равен 0, удобно
записать в виде
sin(x+f)=c/√(a²+b²); здесь f-вспомогательный угол, такой,
что
sin f=a/√(a²+b²), cos f=b/√(a²+b²).








3sin5z -2cos5z=3 /√13
3/√13sin5z – 2/√13cos5z=
3/√13

3/√13=cosf, sinf=2/√13
Cosf*sin5z – sinf*cos5z= 3/√13
f=arktg2/3
Sin(5z-f) = 3/√13
5z-f=(-1)^n arksin3/√13+nП
Z=f/5 +[(-1)^n(П/2-f) +nП]1/5
4. Уравнения. acos2x+bcos²x=c и acos2x + bsin²x=0
сводятся к уравнениям вида cos 2x=m с помощью
формулы понижения степени
cos²x = 1+cos²x/2, sin²x=1-cos²x/2
4.sin²x+sin² 2x=sin² 3x
1-cos2x/2+1-cos4x/2=sin² 3x
1-sin² 3x=cos2x+cos4x/2
cos² 3x=cos3x cosx
cos3x(cosx-cos3x)=0
cos3x cosx sinx=0
x=πn/2, x=π/6+πn/3
Ответ: x=πn/2, x=+-π/6+πn,
n€ Z
5. Уравнение. asin2x +bsin²x=c и
asin2x+bcos²x=c
можно свести либо к однородным, используя тождество
с = с (sin²x +cos² x), либо к уравнениям вида Asin2x +
Bcos2x = C, применяя формулы понижения степени.




Asin2x+bsin²x=c
2asinxcosx+bsin²x=c(sin²x+cos²x)
-cos²x+2asinxcosx+(b-c)sin²x=0 /cos²x
2atgx+(b-c)tg²x-1=0
6. . Уравнение. a(sinx+cosx)+bsin2x+c=0
сводится к квадратному относительнo t =
sinx+cosx, так как sin2x=t²-1.
6. 4(cos³x –sin³x)=5cos2x
(cosx-sinx)(4+4sinx cosx-5(sinx+cosx))=0
cosx-sinx=0
x= π/4+ πn
4+4sinx*cosx-5(sinx+cosx)=0
t=sinx+cosx
2t²-5t+2=0
t=2
sinx+cosx=1/2, то sin(x +π/4)=1/2√2
x=-π/4+(-1)ⁿ arcsin1/2√2+ πn.
t=2
sinx+cosx=2 θ т.к Іsinx+cosxІ≤√2
Ответ: x= π/4+ πn
Источники информации


Алгебра и начала анализа 10-11класс
Газета «Математика» №40 1995г.