Геострофическое равновесие

Геострофичес
кое равновесие
Уравнение движения в относительной
системе координат
dV
1
1
  g  2  ω  V    p  Div( T )
dt


помнить, что

g  g  r 2

Разложение силы Кориолиса на горизонтальную и
вертикальную составляющие
V  u,v,w  U s  w  k ,
где
Us  u  i  v  j  0 k
2ω  0  i  l y  j  l z  k , где l y  2 co s 
Вектор силы Кориолиса:

i
2ω  V  0
j
ly
k
lz 
u
v
w

и l z  2 sin 
 l z v  l y  i  l z u  j  l y u  k 
 lz v  i  lz u  j  l y u  k  k  lzU s  l y u  k
i
проверка:  k  l z U s  l z 0
u
Откуда для силы Кориолиса:
j k
0 1  lz v  i  lz u  j
v 0
2ω  V   k  l z U s  l y u  k
Основное равновесие в атмосфере
(баланс главных сил)
1
0   g  2  ω V    p

выписав компоненты получим

1 p  
1 p  
1 p 

g

k

l
u

k


k

l
v

i


i


l
u

j

 j  0
y
z
 z




 z  
 x  
 y 

принятая запись
1 p
k:
  g уравнение статики по вертикали
 z
1
s: k  l z U s   s p  0 - геострофическое равновесие по горизонтали

Это принятая векторная запись геострофического равновесия.
Индексы ()s, указатели плоских векторов, обычно опускают!
Главные факторы для движений
синоптического масштаба (Ro <<1)



Влияние молекулярной вязкости на эти потоки несущественно.
Главными динамическими факторами являются сила барического градиента
и сила Кориолиса.
С относительной ошибкой около 10% можно использовать уравнения
горизонтального движения синоптического масштаба в виде
Вспомним векторное произведение:
k   k  A   A
Векторная запись поворота
вектора на 180 градусов
Решение векторного уравнения
геострофического равновесия
 1

1

k     p  k  lzU g   0  k    p   l zU g  0 
 





 1

Ug  k 
 p
  lz

k  k  lU g  k  ( k  lU g )  lU g ( k  k ) 
Для справки:


 k  0  lu g  0  lvg  1  0  lU g   0  0  0  0  1 1  lU g
i
lu g 

 0
 lvg  1 p

 x
j
0
1 p

 y
 1 p 
k
  

 1 p 
 1 p 
  y 
1    i     j  0k  

1

p


y


x




 

  x 
0
ug  
1 p
1 p
 ; vg 

l  y
l  x
Задача: НАПРАВЛЕНИЕ геострофического
ветра

Используя правило правой руки, убедиться, что геострофический
ветер направлен в северном полушарии влево от градиента
давления, а значит по отношению к изобарам в соответствие с
законом Бейс-Балло
 1
Ug  k  
 l

p

Как векторное произведение,
вектор направлен влево от вектора
градиента давления и перпендикулярен ему
Правило Бейс-Балло
Следует помнить, что геострофический ветер не может «дуть» –
это приближенная оценка, а не реальный природный феномен.
Задача: а что меняется в
южном полушарии?


Ответ: единичный вектор вертикали –к там будет
иметь направление противоположное вектору угловой
скорости вращения земли
Поэтому разложение угловой скорости будет иметь
вид
2ω  0  i  l y  j  l z  k
Откуда для силы Кориолиса:
2ω  V  k  l z U s  l y u  k
Геострофическое равновесие:
Геострофический ветер:
1
k  lzU s   s p  0

 1

U g  k  
 p
  lz

Задача: НАПРАВЛЕНИЕ геострофического
ветра


Используя правило правой руки, убедиться, что геострофический
ветер направлен в южном полушарии вправо от градиента
давления
Модифицировать правило Бейс-Балло в этом случае
 1
U g  k   
 l

p

Зачем он нужен ?
В свободной атмосфере (выше 1 км) ветер по скорости и
направлению очень близок к геострофическому
Свойства геострофического ветра.
Рабочая формула для вычисления модуля скорости
геострофического ветра
2
2
 1 p 
 1 p 
1 p
1
p
Ug          


l  n 2 sin    n
 l  x 
 l  y 
Пример оценки величины скорости геострофического ветра:
Па
p
5,3 p
гПа
U g  м / с 
  гПа / 100км  
sin  n
2  7 ,29 105 с 1  sin  1,29  кг / м3  105  м / 100км  n




100
Геострофический ветер не может
быть определен на экваторе!
Вектор угловой скорости вращения
Земли в этой стандартной системе
координат имеет вид .
ω  0;; 0
Вектор силы Кориолиса не
имеет на экваторе
горизонтальной компоненты
Расположение осей стандартной
системы координат на экваторе
i j
2  ω  V   2 0 
u v
k
0 
w
 2   w  i  0  j  u  k 
Уравнения геострофического баланса у
экватора имеют вид
1
 g  2  ω V    p  0 

 1 p
1 p
1 p 
 g  k  2   w  i  0  j   u  k      i    j    k   0
 y
 z 
  x
1 p
1 p
1 p
   2 w  0;    0  0;    2u  g  0;
 x
 y
 z
Отсюда следует, что
аналогом геострофического потока у экватора будет движение в
вертикальном направлении,
при условии образования вдоль экватора экстремума
барического поля.
Рассчитать горизонтальные скорости по этим равенствам
невозможно.
Поэтому говорят, что геострофический ветер у экватора не
определим.
Геострофического ветра
в изобарической системе координат
Переход к изобарической
системе координат
 1

Ug  k   p
 l

1
1  p
p
 p   i 
l
 l  x
y

1  z
z
 i 
 l  x y

j 

 1
j   z
 l
 1
Ug  k  
 l

z

Высота изобарической поверхности p=const –
теперь стала функцией : z(t,x,y,p)
Изменение геострофического ветра с
высотой
между изобарическими поверхностями
RTср  p
 барометрическая формула
 z  z2  z 1 
ln  1

p
2
g

тогда вектор изменения геострофического ветра в слое от p1 до p2
g



R



U g  U g ( p2 )  U g ( p1 )  k     z2  z1    k   ln  p1 p  Tср 
2
l
l 
или
dU g
 g  z

U g  k  
T 
 l  Tср ср 


U g
 g

 lim
 k 
T
dz
 l T

 z 0  z
U g
– этот вектор называется « термический ветер»
Термический ветер в лаборатории
Мы заполняем цилиндрический
резервуар водой (глубина 15 см), и
вращаем его очень медленно - не
более чем в 0,8 об / мин (или даже
меньше) в против часовой
стрелки.
В центре мы размещаем
оловянный цилиндр 15 см в
диаметре со льдом. Оставляем на
20 минут для установления. Затем
кидаем
нескольких кристаллов
марганцовки. Они падают
вертикально на дно. Полосы не
остаются вертикальными: они
наклоняются в азимутальном
направлении все сильнее с
увеличением высотой от дна. Мы
посыпаем кусочки черной бумаги
на поверхность и они движутся в
том же направлении, но быстрее,
чем, вращается стол.
Запомнить!



Изменение вектора геострофического ветра с высотой
выражается как в увеличение скорости, так и в
изменении направления.
Вектор термического ветра, перпендикулярен
термическому градиенту т.е. «дует» вдоль изотерм
средней температуры слоя от p1 до p2
Квази Бейс-Балло: термический ветер
«дует» вдоль изотерм так, чтобы (если
встать к нему спиной), оказывалась
область холода (в северном полушарии)
Пример: объяснение струйного течения

В широтной зоне от 30 до 40 N зональный градиент
температуры в тропосфере достигает 200С/1000 км.
Задать недостающие параметры и оценить скорость
ветра на высоте 8 км. (U(0)=0)
 g  z

U g  k  
 T   Ug(8)Ug( 0)  Ug(8) 
 l  Tср ср 



 T

Tср
Tср
g


z
g


z
ср


k i
k  j   U g ( 8 )  
i
 l  Tср  x


y
2 sin   Tср y




9.8  8000  ( 20 )

i
2 2 24 / 3600 sin 300  273  13  6.5  4 106





196  8000
i  83i мс-1   300i км  ч-1 




7.27  105  260 106
Смотри рисунок!
Бароклинность и баротропность

Если температура горизонтально однородна, то
горизонтальный барический градиент зависит только от
изменений плотности. Это легко доказать с помощью
уравнения состояния
  p  RT    p  R T  RT  RT

В этом случае изобарические поверхности в атмосфере
должны быть параллельны изостерическим (поверхностям
постоянной плотности).

Такое состояние является баротропным.

Это значит, что изменение вектора ветра с высотой
является признаком бароклинности атмосферы.
В бароклинной атмосфере образуются
вертикальные изобаро-изостерические
соленоиды
Наклон фронтальных зон в
атмосфере
g   z Tср
U g  
l  Tср y
Если U g  U  U 3  U1 и
T
z  Tср  H 
 ( T1  T3 )  tg
y
l  Tср U 3  U1
tg 

 формула Маргулеса
g
T1  T3
то
Оценка угла наклона фронта и
изобарической поверхности

Для фронта



Для изобаричесой поверхности:



U3-U1=10[м/с], Т3=273К, Т1=283К, Тср=278К
Тогда tg= lTср/g = 0.0036 (=0.20) при =450
dp=pxdx+pzdz=0 откуда
tg=dz/dx=-px/pz=(lV/g)=0.00013=(0.00740)
Хотя оба угла очень малы, но


tg / tg = 28
Т.е. если изобару изображать под углом 10 к
горизонтали, то фронт следует изобразить под углом
300 к горизонтали
Геострофическая адвекция температуры
1- нижний
уровень
2- верхний
уровень


При повороте геострофического ветра с высотой по
часовой стрелке (положение А) происходит перенос более
теплого воздуха в сторону более холодного (адвекция
тепла),
а при повороте геострофического ветра с высотой против
часовой стрелке (положение Б) происходит перенос более
холодного воздуха в сторону более теплого (адвекция
холода).
Понятие адвекции температуры
dT
 0 уравнение переноса тепла ветром
dt
T
T
T
T T
u
v
w
 AT  CT ,
t
x
y
z t
где
 T
T 
T
AT    u
v
   Us  CT   w
y 
z
 x
Величина АT называется в метеорологии адвективным
изменением температуры или адвекцией температуры
 Если АT >0, то воздух в выбранном пункте нагревается. В
этом случае говорят об адвекции тепла.
 Если АT < 0, то воздух в выбранном пункте охлаждается. В
этом случае говорят об адвекции холода.

Адвекция температуры и
термический ветер

T
T 
ATg    u g
 vg
  U g 

x

y


Если k 

g
 g

 k k 
 T   
T
dz
l

T
l

T



dU g
ATg  U g  
l T
Ug
g
dU g

k 

dz

и tg  v g / u g
ug
 l T
 0
 
g

du g
dz


vg
0
0
dv g
1
dz

0
l  T  U g  cos 
du g 
l  T  u g 2 d vg / u g
l T 

  ug
 vg



g 
dz
dz 
g
dz
g
dv g
l  T  U g 2 d
ATg  

g
dz

2

dtg
dz
Память о войне:
Возрастание α с
высотой есть поворот
ветра против часовой
стрелки (влево), т.е.
свидетельство адвекции
холода.
Убывание α с высотой
есть поворот ветра по
часовой стрелки
(вправо), т.е.
свидетельство адвекции
тепла.
