Принципы цифровой обработки дискретных сигналов

Лекция № 7
Принципы цифровой обработки
дискретных сигналов
•Линейная обработка дискретных сигналов (цифровая обработка,
цифровая фильтрация) – произвольная линейная операция над
входными дискретными данными.
•Дискретный фильтр (цифровой фильтр) – дискретная система
(физическое устройство или компьютерная программа)
преобразующая последовательность дискретных отсчетов x(n)
входного сигнала в последовательность отсчетов  y (n) выходного
сигнала, обладающая свойствами линейности и стационарности:
y(n)  F  x(n)
где
F – линейный стационарный оператор преобразования.
Принципы цифровой обработки
дискретных сигналов
• Линейность означает, что выходная реакция системы
на сумму сигналов равна сумме реакций на эти
сигналы, поданные на вход по отдельности. То есть в
линейной системе входной последовательности
1 x1 (n)  2 x2 (n) на выходе соответствует
последовательность 1 y1 (n)  2 y2 (n) при любых
коэффициентах  i .
• Стационарность системы означает, что задержка
входного сигнала приводит к такой же задержке
выходного сигнала, не меняя его формы.
Принципы цифровой обработки
дискретных сигналов
• Преобразование сигналов дискретными (цифровыми) фильтрами
описывается разностным уравнением. Дифференциальное
уравнение, описывающее линейную систему, преобразуется в
форму разностного уравнения, если отсчеты функции происходят
в равноотстоящие моменты времени: 0, T , 2T ,..., nT ,... Для
аналоговой системы линейное дифференциальное уравнение в
операторном виде записывается так:
A( p ) y (t )  B( p ) x(t ),
A( p )  a0  a1 p  a2 p 2  ...  am p m ;
B( p)  b0  b1 p  b2 p 2  ...  bl p l ;
ai , b j коэффициенты дифференциального уравнения.
Принципы цифровой обработки
дискретных сигналов
• Введя обозначения:
y (n)  y (nT ); x(n)  x(nT ) и
q  r y ( n)  y ( n  r ) ,
получим:
 a0  a1q 1  a2 q 2  ...  am q  m  y (n)  b0  b1q 1  b2 q 2  ...  bl q  l  x (n)
• Разностное уравнение в общем виде записывается
следующим образом:
m
l
 a y(n  i)   b x(n  j ),
i 0
i
j 0
j
m
l
i 1
j 0
y(n)   ai y(n  i)   b j x(n  j ).
или
Принципы цифровой обработки
дискретных сигналов
• Таким образом, дискретный фильтр представляет собой
линейную комбинацию равноотстоящих отсчетов x ( n  j )
некоторой функции x(t ), а также вычисленных значений
на выходе фильтра y (n  i ).
• Если все коэффициенты ai  0 , фильтр называют
нерекурсивным (трансверсальным). Он работает по
алгоритму:
y(n)  b0 x(n)  b1 x(n  1)  b2 x(n  2)  ...  bl x(n  l ).
• Если хотя бы один из коэффициентов ai  0 , то фильтр
называют рекурсивным (фильтром с обратной связью). В
нем для формирования n го значения выходного
сигнала используют предыдущие значения как входного,
так и выходного сигналов.
Основные структурные элементы
дискретных (цифровых) фильтров
В дискретных фильтрах используют три операции:
•
задержку на интервал отсчета,
•
сложение,
•
умножение.
Соответственно основными элементами дискретных
фильтров как физических устройств являются:
• элемент единичной задержки (на интервал
дискретизации сигнала);
• сумматор;
• умножитель.
Типовые дискретные
сигналы
1.
Цифровой единичный импульс, или единичный
отсчет:
1, n  k
u0 (n  k )  
0, n  k
u0 (n  k )
1,0
n
0
k
Типовые дискретные
сигналы
2.
Цифровой единичный скачок, или ступенчатая
функция:
1, n  0
u1 (n)  
0, n  0
u1 (n)
1,0
0
n
Типовые дискретные
сигналы
3.
Экспоненциальная дискретная функция
(убывающая экспонента):
a n , n  0
e(n)  
0, n  0
e( n )
1,0
a 1
0
n
Типовые дискретные
сигналы
4.
Косинусоидная дискретная функция:
n
C (n)  cos(2 )
n0
C ( n)
1, 0
0
n
1, 0
На рисунке: C (n)  cos 0 n,
0  2 8.
Разновидности последовательностей
дискретных отсчетов
• Последовательность y (n)  x(n  k )называется
сдвинутой и получается из последовательности x(n)
при ее сдвиге по оси n вправо, если k  0 , и влево,
если k  0.
• Периодической является последовательность x(n),
удовлетворяющая условию x(n)  x(n  mN ) , где m, N 
целые числа, m  1, 2,... . Число N называется периодом
последовательности. Периодическую
последовательность достаточно задать на интервале
одного периода, например при 0  n  N 1.
• Сверткой двух периодических с периодом N
последовательностей x1 (n) и x2 (n) называется
N 1
N 1
последовательность
y (n)   x1 (m) x2 (n  m)   x1 (n  m) x2 (n)
m0
m0