Перколяция

Элементы теории перколяции
Аппроксимация эффективной среды
J
Когда все связи одинаковы и
проводимости их ik=m , то
k
l

k
l
z 
sh  m   1
2 
2J
J

,
zm m  sh
2J
ikl 
,
z
Если проводимости ik всех связей разные, то нужно усреднить выражение
ikl
J  ikl

,
kl
 sh
ikl  J
kl
kl   sh
1
Считая, что по-прежнему

и
ikl
получим
2
kl

z
kl  m z  1
2


d=2
kl= 1 or 1/2
0.6
m

sh  m z  1
2
2J

,
z
d=3
0.8
kl= 1 or 0
0.4
0.2
0
d=2
d=3
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
Проблемы аналитических решений перколяционных задач
Ниже порога x < xc
n1  x (1  x ) 4
x   sns
n2  2 x 2 (1  x )6
n3  2 x (1  x )  4 x (1  x )
3
n=4
8
3
7
s
n=5
n=6
Два типичных типа перколяционных задач:
1. Определение порогов.
Аналитические решения существуют только для размерностей
d=1,d=
и нескольких конкретных задач с размерностью d = 2 .
2. Поведение функций вблизи порога (определение критических индексов)
Пример: Мощность бесконечного кластера P(x)
1
P(x ) 
x   sns
x  xc
s
0
x  xc
P(x)
0
xc
x
1
x=
0.58
< xc
x=
0.60
 xc
Перколяция в задаче узлов
x=
0.62
> xc
на квадратной решетке
160160
Из книги
J. Feder, Fractals (Plenum Press, 1988)
Есть русский перевод
Дж. Федер, Фракталы, 1991)
Перколяционные пороги для типичных решеток
Is и Ib  эмпирические инварианты, Ib  d /(d1)
Увеличение числа ближайших соседей
(рост радиуса взаимодействия)

















= 3
Каждый узел связан с
тремя слоями
ближайших соседей.
В кластер входит 4 узла



= 4
Каждый узел связан с
четырьмя слоями
ближайших соседей.
В кластер входит 7 узлов
Перколяция в системе случайных узлов
3D
П
р
о
с
т
а
я
к
у
б
и
ч
е
с
к
а
я
О
б
ъ
е
м
н
о
Г
р
а
н
е
ц
е
н
т
р
и
р
о
в
а
н
н
а
яц
е
н
т
р
и
р
о
в
а
н
н
а
я
Ч
и
с
л
о
1 2 3 1 2 3 1 2 3
с
л
о
е
в
Ч
и
с
л
о
z
8 2
6 8 1
42
6 1
8 4
2
21
с
о
с
е
д
е
й 6 1
К
о
н
ц
е
н
т
р
.0
.3
10
.1
40
.0
90
.1
90
.1
40
.0
6
.1
00
.2
50
.1
80
x
c
zx
c
1
.8
42
.4
52
.4
71
.8
42
.4
52
.5
2
.5
21
.9
42
.4
52
Когда радиус взаимодействия r много больше периода решетки,
существенно лишь количество узлов внутри этого радиуса, т.е.
4 3
r N (N - концентрация),
3
а их взаимное расположение (симметрия решетки) несущественно.
4 3
r N c  Bc( 3)  2.7,
3
r 2 N c  Bc( 2 )  4.4
Континуальные задачи
U min  U (r)  U max ,
U (r)  0
S1 + S2 =1
Для размерности d = 2
на пороге
S1
S2
S1 = S2 =1/2
Функция U(r) предполагается статистически симметричной
относительно преобразования U
U
и статистически изотропной
Окрестность перколяционного перехода
Статфункции концентрации открытых узлов
Вспомогательные функции
q(r,x)  вероятность того, что узел на расстоянии r от открытого
узла тоже открыт и принадлежит тому же конечному кластеру
q(0)=1, q(a)=x
w(s,x)  вероятность того, что открытый узел
принадлежит к конечному кластеру с s узлами
Основные функции
Мощность бесконечного кластера P(x);
Среднее число узлов конечного кластера S(x);
S ( x )   q( r )   sw( s ) 
r
2
s
s ns
s
 sn
s
P(xс)= 0
S(xс)= 
s
x(xс) = 
Корреляционная длина x(x);
x2 ( x ) 
sns
w( s ) 
s sns
2
r
r q(r )
 q( r )
r

2
r
r q(r )
S ( x)
Основной постулат :
В окрестности перколяционного перехода P, S и x степенные
функции разности | x xc |
P ( x )  ( x  x c ) ,
S ( x )  | x  xc | 
x ( x )  | x  xc | 
x > xc
Критические индексы и 
одинаковы по обе стороны порога
Значения критических индексов
P
x
S
d=2
 5
/36
 4
/3
 43
/18
d=3
0
.4
1
7
0
.8
7
5
1
.7
9
5
Аналогия с фазовыми переходами
второго рода
Концентрация
Мощность
бесконечного
кластера Р
x
Получены
аналитически
Получены
численно
х
Температура Т
Параметр
порядка
Корреляционная
длина
x
Электропроводность бесконечного кластера
вблизи порога
Токонесущий остов и
мертвые концы в
бесконечном кластере
вблизи порога
протекания
J. Feder, Fractals (Plenum Press, 1988)
Есть русский перевод
Дж. Федер, Фракталы, 1991)
Из книги
Задача: Найти сопротивление простой кубической решетки,
связи в которой имеют сопротивления в экспоненциально
большом интервале значений
R  R0eu ,
0  u  u0 ,
u0 >> 1,
u  случайная величина, с вероятностью F(u)=const=1/u0
принимающая любые значения из разрешенного интервала.
Постепенно включаем связи, начиная с самых высокопроводящих (u=0) до
тех пор, пока при некотором uc
uc
uc
x   F (u)du   xc ,
u0
0
uc  xcu0 (  0.25u0 ).
Чтобы по бесконечному кластеру пошел ток, порог xc должен быть
превышен на Dx = xxc= Du/u0 . Корреляционная длина при этом конечна
u
x  a  0 
 Du 

x
Токонесушая структура
перколяционного кластера имеет вид
сетки (двумерной или трехмерной) с
размером ячейки x и с сопротивлением
между двумя узлами порядка
Rx  R0 exp( uc  Du )
Удельное сопротивление такой 3D сетки

Du
u0 
uc ν e

  Rxx  R0 exp( uc  Du) a 
  R0ae u0
D
u
( Du)


имеет минимум при Du = 0.875,так что (e / = 2.7 и
  2.7 R0ae u  2.7 R0ae
uc
ν
0
u0
4
u00.875