Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции lim ( ) f x

Тема: Предел функции. Свойства пределов
1. Предел функции
Пусть f(x) – функция, определенная на множестве Х;
А и а –числа.
Опр. Число А называется пределом функции f(x) при
xa, если >0  такая -окрестность точки а U(a),
что | f(x) -A|< x U(a).
Эквивалентные формы записи:
lim f ( x)  A или f(x) А при xa.
xa
Опр. lim f ( x)  A , если  >0  =():
x
| f(x) -A|< |x|>  .
1
Замечания:
1. Функция может быть меньше своего
предела.
x2
lim 2
1
x x  1
2. Функция может быть больше своего
предела.
lim x 2  0
x0
3. Функция может колебаться вокруг своего
предела.
1
lim( x sin )  0
x 0
x
2
Бесконечно малые и бесконечно большие
функции (БМФ и ББФ)
Опр. Функция f(x) называется бесконечно
малой при xa, если >0  U(a), что
|f(x)|< при x U(a) или lim f ( x)  0.
xa
Опр. Функция f(x) называется бесконечно
большой при xa, если >0  U(a), что
f ( x)  .
|f(x)|> при x U(a) или lim
xa
3
Лемма (связь БМФ и ББФ) .
1
1. Если lim f ( x )  , то lim
 0.
x a
x a f ( x)
1
2. Если lim f ( x )  0 ( f ( x )  0), то lim
 .
x a
x a
x a f ( x)
Теорема (свойства БМФ).
1. Алгебраическая сумма (+ и -) конечного
числа б.м. функций при xa есть б.м. функция
при xa.
2. Произведение б.м. функций при xa есть
б.м. функция при xa.
4
2. Свойства пределов
Теорема 1. Число A является пределом функции
f(x) при xa, тогда и только тогда, когда функция
f(x)-A является бесконечно малой:
(lim f ( x )  A)  lim( f ( x )  A)  0.
x a
x a
Теорема 2. Предел постоянной функции f(x)C
при xa равен самой постоянной:
lim C  C.
x a
5
Свойства пределов (продолжение)
Теорема 3. Если каждое слагаемое алгебр. суммы
конечного числа функций имеет предел при xa, то
предел этой суммы  при xa и равен сумме
пределов слагаемых:
lim[ f ( x)  g ( x)  h( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)  lim h( x).
xa
xa
xa
xa
Теорема 4. Если каждый из сомножителей
произведения конечного числа функций имеет предел
при xa, то предел произведения  при xa и равен
произведению пределов сомножителей:
lim[ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x).
xa
xa
xa
6
Свойства пределов (продолжение)
Теорема 5. Предел частного равен частному
пределов:
f ( x)
f ( x ) lim
lim
 xa
(при lim g ( x )  0).
x a g ( x)
x a
lim g ( x )
x a
Теорема 6. Если функция f(x) имеет предел при
xa и n f ( x ) ( n  N)  в точке а, тогда
lim n f ( x )  n lim f ( x ).
x a
x a
Теорема 7. Если f(x) – элементарная («школьная»)
функция и число a принадлежит ее области
определения, то предел вычисляется прямой
подстановкой:
lim f ( x )  f (a ).
x a
7
Следствия
Следствие 1. Постоянный множитель можно
выносить за знак предела:
lim[c  f ( x)]  c  lim f ( x).
xa
xa
Следствие 2. Если функция f(x) имеет предел при
xa, то предел при xa целой положительной
степени n ее равен такой же степени предела этой
функции:
lim[ f ( x)]  [lim f ( x)] .
n
xa
n
xa
8
Следствия (продолжение)
Следствие 3. Если функция f(x) имеет предел
при xa, отличный от 0, то предел при xa
обратной ей по величине функции равен
обратной величине предела данной функции:
1
1
lim

.
x a f ( x )
lim f ( x)
x a
9
3. «Замечательные» пределы
Замечание. Не всякая функция имеет предел (даже
ограниченная).
 f ( x )  sin x
Пример:

|
sin
x
|

1,
но
lim
sin
x
не

.

x 
Теорема 1. (1-й замечательный предел)
sin x
lim
 1.
x 0
x
Теорема 2. (2-й замечательный предел)
1 x
lim(1  )  e ( e  2.718)
x 
x
1
y
или lim(1  y )  e.
y 0
10
4. Раскрытие неопределенностей
Опр. Случаи, в которых подстановка предельного
значения в функцию не дает значения предела,
называют неопределенностями.
Они бывают следующих типов:
 0

   ,  0  ,     ,1 .
Устранить неопределенности часто удается с
помощью алгебраических преобразований.
11


1-й тип
   .
В числителе и знаменателе сложные степенные или
показательные функции.
Для степенных функций – вынести за скобку в
числителе и знаменателе дроби х с наибольшим
показателем степени среди всех слагаемых дроби;
для показательных функций – за скобку выносится
наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех
слагаемых дроби. После сокращения дроби
неопределенность устраняется.
3x  2 x
3x (1  (2 / 3) x )
1  (2 / 3) x 1  0
lim
 lim x
 lim

 1.
x 1  3x
x 3 ((1/ 3) x  1)
x (1/ 3) x  1
0 1
12
0

2-й тип
 0  .
а) многочлены
Необходимо разложить на множители и числитель,
и знаменатель дроби, исходя из того, что, если a –
корень многочлена P(x), то P(x) делится на (x-a).
Часто
помогают
«формулы
сокращенного
умножения».
После сокращения дроби неопределенность
устраняется.
2
x 9
( x  3)( x  3)
lim 2
 lim

x3 x  7 x  12
x3 ( x  4)( x  3)
( x  3) 6
lim

 6.
x3 ( x  4)
13
1
0

2-й тип
 0  .
б) тригонометрические
Необходимо упростить выражение, чтобы свести к
1-му замечательному пределу
2
x
y
2
cos 2 x  1
2 sin 2 y
lim

y0
 lim

4
2
x 0
y 0
3x
3y
2
1  cos 2  2 sin 
2
 sin y 
2
2
  lim 
 .

3 y 0  y 
3
14
3-й тип    .
Если функция представляет собой алгебраическую
сумму дробей, то неопределенность устраняется или
приводится ко 2-му типу после приведения дробей к
общему знаменателю.
Если функция представляет собой алгебраическую
сумму иррациональных выражений (корней), то
неопределенность устраняется или приводится к 1-му
типу путем домножения и деления функции на одно и
то же (сопряженное) выражение, приводящее к
формулам сокращенного умножения.

4 
x24 
 1
lim 
 2

lim
 x 2 

x 2
 x2 x 4
 ( x  2)( x  2) 


x2
1
1
lim 

lim

.
 x 2
x 2
x2
4
 ( x  2)( x  2) 
15
 ( x  2  x )( x  2  x ) 
lim x  2  x  lim 

x 
x 
x2  x


4


 lim 
  0.
x 
 x2  x 


4-й тип 1  .
Сводить ко 2-му замечательному пределу

lim 1  2 x 
x 0
5
x
2x  y
1
10

y  0  lim 1  y  y 
y 0
5
1
  10
x
y
10


  lim 1  y  
 y 0

1
y
 e10 .
16