Координатно- векторный способ решения задач Готовимся к ЕГЭ

Координатновекторный способ
решения задач
Готовимся к ЕГЭ
Муниципальное образовательное
учреждение средняя общеобразовательная
школа №49 Карасукского района
Работу выполнила:
ученица 11 класса Сбитнева Ольга
Учитель:
Пирогова Галина Степановна
Основные формулы:
Координаты вектора: ax2  x1 ; y2  y1 ; z2  z1
Уравнение плоскости:Ах+Ву+Сz+D=0
Скалярное произведение векторов:
ab  x1 x2  y1 y2  z1 z2 ;
ab  a b cos 
Модуль вектора:
a  x2  y 2  z 2
Расстояние от точки до плоскости:
d
Ax0  By 0  Cz0  D
A  B C
2
2
2
№В10(вариант1, типовые задания
ЕГЭ,Корешкова Т.А. и др, 2008г)
Боковое реброМА пирамиды МАВС
перпендикулярно плоскости
основания и равно 13, угол
ВАС=90*, АВ=39, АС=52. Найдите
расстояние от вершины А до
плоскости ВСМ.
z
М
А(0;0;0), В(39;0;0), С(0;52;0), М(0;0;13),
Уравнение плоскости ВМС:
А
С
у
х
39 A  0 B  0C  D  0

0 A  0 B  13C  D  0
0 A  52 B  0C  D  0

1
1
1
D; B   D; C   D
39
13
52
1
1
1
 Dx  Dy  Dz  D  0
39
13
52
4 x  12 y  3z  156  0
A
В
Расстояние до плоскости:
d
4 * 0  12 * 0  3 * 0  156
Ответ: 12
16  144  9
156

 12
13
Авторское решение:
М
К
А
Н
В
Если через точку А провести
плоскость┴ВМС, то перпендикуляр,
проведенный
через точку А к линии
пересечения этих плоскостей, будет
перпендикуляром и к плоскости ВСМ.
Пусть АН ┴ ВС, тогда МН ┴ВС ,
С следовательно ВС ┴АМН и МВС ┴ АМН.
В плоскости АМН проведем перпендикуляр
к МН. Тогда АК ┴ВСМ. Искомое расстояние
есть отрезок АК.
Из треугольника АВС
BC  392  522  65
2
169
 156 
MH  132  
 
5
 5 
Тогда 2S АВС =39*52=65*АН,
АН=39*52/65=156/5
В треугольнике АМН
2S=АК*169/5, тогда АК=13*156/169=12
Ответ: 12
Выводы по решению задачи:
Авторский способ решения более
прост технически, но требует
подготовительных рассуждений,
обоснований дополнительного
построения, знания теорем. Первый
же способ решения предполагает
только применение формул.
№С4(вариант2, типовые задания
ЕГЭ,Корешкова Т.А. и др, 2008г)
Основанием прямой призмы АВСА1В1С1
является треугольник АВС, в котором
уголС=90*, уголА=30*, ВС=4. Точка Ксередина ребра СС1 , а тангенс угла между
прямой А1В и плоскостью основания
равен 1/√2. Найдите угол между прямыми
В1К и А1В.
С1
А1
К
А
В1
АС=СВtg30*=4√3/3; AB=CD/sin30*=4/0.5=8
AA1=ABtg∟A1BA=8/ √2= 4√ 2;
KC=0,5AA1=2 √2
С
В
В(0;4;0;), B1(0;4; 4√2), K(0;0;2 √2), A1(4√3/3;0;4 √2)

 4 3

A1 B  
;4;4 2 ; KB1  0;4;2 2
 3


4 3
A1 B * KB1  
*0  4*4  4 2 *2 2  0
3
Угол между прямыми А1В и КВ1
равен 90*
Вывод:
С помощью координатного метода
можно решать задачи нахождения
расстояний между прямыми,
прямой и плоскостью, угла между
прямыми и плоскостями в прямой
призме или пирамиде, две боковые
грани которой перпендикулярны
основанию