prod-3447-teoremapifagora

Теорема Пифагора
8 класс
Цели урока:
• Ознакомиться с историей Пифагора и
его теоремы
• Научиться доказывать теорему
Пифагора
• Научиться применять теорему
Пифагора в решении задач
История теоремы
Теорему Пифагора знали за много лет до
самого Пифагора.
История теоремы
• В китайском
математиком
сочинении, написанном
примерно за 600 лет до
записи ее Пифагором,
содержится данная
теорема.
• Еще раньше эта
теорема была
известна индусам.
Почему теорема ПИФАГОРА?
Пифагор не открыл
это свойство
прямоугольного
треугольника, он
первым сумел его
обобщить и
доказать,
перевести тем
самым из области
практики в
область науки.
Формулировка
• В прямоугольном треугольнике квадрат
длины гипотенузы равен сумме
квадратов длин катетов.
2
2
2
c =a +b
Простейшее доказательство
Квадрат, построенный на гипотенузе
c
прямоугольного треугольника,
c
a
равновелик сумме квадратов,
а
а
а
построенных на его катетах.
a
Самый простой случай:
c
c
a
a
c
ABC – прямоугольный треугольник
а
с равными катетами
а
Доказать:
c
a
a
c2=a2+b2
а
Ддостаточно просто посмотреть на мозаику
равнобедренных прямоугольных треугольников,
чтобы убедиться в справедливости теоремы.
Например, для ΔABC: квадрат, построенный на
гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а
квадраты, построенные на катетах, - по два.
Доказательство
Дано:
ABC –
прямоугольный
треугольник,
C – гипотенуза
Доказать:
c2=a2+b2
c
b
a
Доказательство
a
b
Решение:
1. Достроим
треугольник до
квадрата, как
показано на
рисунке
b
a
c
c
c
b
a
c
a
b
Проведем из получившейся точки
Повторим
действия
до
построения
нужного
Продлим
Отложим
Отложим
сторону
отрезок
bb(со
стороны
равныйострого
a прямой
угла)
проведем
прямую,
параллельную
a
Проведем
с отрезок,
квадрата
исходного треугольника
Доказательство
2. Докажем, что
получившаяся
фигура квадрат:
a) Данная фигура
– параллелограмм
(по построению)
b) углы = 90°
c) стороны равны
по построению
b
a
b
a
c
c
b
a
c
a
b
Доказательство
• Решение:
3. угол1 + угол2 = 90°
(сумма острых углов
прямоугольного треугольника),
угол1 + угол2 + угол3
=180°
=> угол3 =90°
=> c – сторона
квадрата
b
1
3
a
2
b
a
c
c
2
c
b
a
c
a
b
4. Прямоугольные треугольники равны по
двум катетам
Доказательство
• Решение:
5.Sквадрата=(a+b)2
Sквадрата=4Sтреугольника+Sквадрата==4*1/2ab+c2
=>
S=(a+b)2=4*1/2ab+c2
S=(a+b)2=2ab+c2
S=a2+b2+2ab=2ab+c2
S=a2+b2=c2
Ответьте
•
a)
b)
c)
d)
e)
Даны стороны треугольника.
a,b – катеты; с – гипотенуза. Найдите
недостающую сторону:
C = 13
a=5, b=12, c=?
B = 4√5
a=8, b=?, c=12
B = 4√5
a=1, b=?, c=9
C = 16
a=8, b=8√3, c=?
A=5
a=?, b=12, c=13
Решите задачу
• Дано:
ABCD – ромб
AC = 8 см
BD = 6 см
Найти:
РABCD= ? см
B
А
C
D
Решите задачу
•Решение:
1) ABCD – ромб =>
AC⊥ВD, AO=OC, BO=OD
(свойства)
2) Треугольники
ABO, CBO, ADO, CDO –
прямоугольные
А
треугольники
3) По теореме Пифагора
получаем, что AB=5 см
4) РABCD= 4AB = 4*5=20 см
B
C
О
D
Задача индийского математика
XII в. Бхаскары
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг
ветра порыв его ствол надломал. Бедный
тополь упал. И угол прямой с теченьем реки
его ствол составлял. Запомни теперь, что
в том месте река в четыре лишь фута
была широка. Верхушка склонилась у края
реки, осталось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у
тополя как велика высота?
Задача Бхаскары
• Дано:
CD – высота
ствола.
BD = АВ
BC = 3, CA = 4
• Найти CD
Задача Бхаскары
Решение:
• треугольник ABC –
прямоугольный
треугольник =>
BA2=BC2+CA2
BA2=32+42
BA2=25
BA=5
• BD = АВ
CD = BD + CB
=> CD = 3+5=8
Подведем итог
За этот урок мы узнали:
• Формулировка теоремы Пифагора
• Доказательство теоремы
• Научились:
• Решать задачи, связанные с теоремой
• Решать прикладные задачи (на примере
древних)
Спасибо за урок!
Источники
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Источники
Изображения:
http://festival.1september.ru/articles/314109/
http://festival.1september.ru/articles/551077/
http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/648d87..
http://wiki.tgl.net.ru/index.php/Семинар_ДООМ._Урок-с...
http://festival.1september.ru/articles/503869/
http://ru.m.wikipedia.org/wiki/Таранто#/image/Файл:Si..
http://ru.m.wikipedia.org/wiki/Таранто#/image/Файл:It..
http://ru.m.wikipedia.org/wiki/Метапонт
http://www.myshared.ru/slide/730658/
http://www.sunturs.ru/десять-интереснейших-храмов-еги..
http://atg-and-others.diary.ru/?tag=115803&from=20
http://kovcheg.ucoz.ru/forum/85-1718-41
http://www.philosoma.ru/shkola2.html
http://ru.m.wikipedia.org/wiki/Пифагореизм
http://new-numerology.ru/s-pif.htm
http://www.heritage-history.com/
http://ru.m.wikipedia.org/wiki/Фалес_Милетский
http://hdw.eweb4.com/wallpapers/8078/
http://vio.uchim.info/Vio_31/cd_site/articles/art_3_5..
http://www.tutoronline.ru/media/473023/dokazatelstvo-teoremy-pifagora-4.jpg
http://900igr.net/datas/geometrija/Zadachi-na-teoremu-Pifagora/0003-003-Zadachi-na-teoremu-Pifagora.jpg
http://900igr.net/datai/geometrija/Zadachi-na-teoremu-Pifagora/0005-003-Zadachi-na-teoremu-Pifagora.png
Текст:
Панченко Д. В. Парадокс Пифагора
Литцман, «Теорема Пифагора» М., 1960.
Еленьский Щ. По следам Пифагора. М.
Учебник геометрии 7-9 класс Л. С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э. Г.Позняк, И.И.Юдина под руководством А.Н. Юдина
Книга из цикла "Жизнь замечательных людей" Пифагор
http://www.moypifagor.narod.ru/history.htm
http://ezop.su/pif_3/
Акимова С. Занимательная математика, серия «Нескучный учебник». – Санкт-Петербург.: Тригон, 1997
Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М.: Аванта+, 1997. • Еленьский Ш. По следам Пифагора. - М, 1961. • Литцман В. Теорема Пифагора. - М.:
Просвещение, 1960
http://www.tutoronline.ru/blog/teorema-pifagora
О теореме Пифагора и способах её доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва