Многоугольники

Многоугольники
Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков AB, BC, CD, DE, EF,
FA так, что смежные отрезки не
лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих
точек. Такая фигура называется многоугольником (рис.1).
Точки А, В, С, D, E, F называются вершинами, а отрезки AB, BC,
CD, DE,
EF, FA – сторонами многоугольника. Сумма длин всех сторон
называется периметром многоугольника.
В
С
D
А
Рис.1
F
Е
Многоугольник с п вершинами называется п-угольником; он
имеет п сторон. Примером многоугольника является треугольник.
На рисунке 2 изображены четырехугольник АВСD и шестиугольник
А1А2А3А4А5А6. Фигура, изображенная на рисунке 3, не является
многоугольником, т.к. несмежные отрезки С1С5 и С2С3 имеют
общую точку.
В
С
А
С1
D
С5
A3
A1
A2
С3
Рис. 2
A6
A5
С4
С2
A4
Рис. 3
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне,
называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две
несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из
которых называется внутренней, а другая – внешней областью
многоугольника.
На рисунке 4 внутренние области многоугольников закрашены.
Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней
области, также называют многоугольником.
Рис. 4
Выпуклый многоугольник
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну
сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние
вершины.
На рисунке 5 многоугольник F1 является выпуклым, а многоугольник
F2 – невыпуклым.
Рассмотрим выпуклый п-угольник, изображенный на рисунке 6,а.
Углы АпА1А2, А1,А2, А3, …,Ап-1АпА1 называются углами этого
многоугольника. Найдем их сумму.
Для этого соединим диагоналями
вершину А1 с другими вершинами.
F2
В результате получим п – 2
F1
треугольника (рис.6,б), сумма углов
Рис. 5
Каждого треугольника равна 180°,
поэтому сумма углов
А2 А
многоугольника
3
А3
А2
А1А2…Ап равна (п–2)•180°.
А1
А1
Итак, сумма углов выпуклого пАп
Ап
Ап-1
Ап-1 б.
а.
угольника равна (п–2)•180°.
Рис. 6
Четырехугольник
Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две
диагонали (рис. 7). Две несмежные стороны четырехугольника
называются противоположными. Две вершины, не являющиеся
соседними, также называются противоположными.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисунке 7,а
изображен выпуклый четырехугольник, а на рисунке 7,б – невыпуклый.
Каждая диагональ выпуклого четырехугольника
А2
А3
разделяет его на два треугольника. Одна из
а
диагоналей невыпуклого четырехугольника
также разделяет его на два треугольника (рис.7, б).
Так как сумма углов выпуклого п-угольника равна А1
А4
(п–2)•180°, то сумма углов выпуклого четырехугольника
Равна 360°.
Рис. 7
б
А3
А4
А2
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого
противоположные стороны попарно параллельны.
На рисунке 8 изображен параллелограмм АВСD: AB ll CD, AB ll CD,
AD ll BC. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.
B
А
C
D
Рис.8
1º. В параллелограмме противоположные стороны равны и
противоположные углы равны.
Рассмотрим параллелограмм АВСD. Диагональ АС разделяет его на
два треугольника: АВС и АDС. Эти треугольники равны по стороне
и двум прилежащим углам (АС – общая сторона, угол 1 = угол 2
и угол 3 = угол 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей
АС параллельных прямых АВ и СD, АD и ВС соответственно).
Поэтому AB = CD, AD = BC уголB = уголD.
Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем
угол А = угол 1 + угол 3 = угол 2 + угол 4 = угол С
В
С
А
D
Рис. 9
2º. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся
пополам.
Пусть О – точка пересечения диагоналей АC и ВD параллелограмма
АВСD ( рис. 10). Треугольники АОВ и СOD равны по стороне и
двум прилежащим углам ( АВ = СD как противоположные стороны
параллелограмма, угол 1 = угол 2 и угол 3 = угол 4 как накрест
лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и СD
секущими АС и ВD соответственно). Поэтому АО = ОС и ОВ = ОD,
что и требовалось доказать.
C
B
3
2
O
4
D
1
A
Рис. 10
Признаки параллелограмма.
1º. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то
этот четырехугольник – параллелограмм.
2º. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно
равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3º. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник –
параллелограмм.
Свойства параллелограмма
Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями,
а две другие стороны – боковыми сторонами.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны
равны. Трапеция, один из углов которой прямой, называется
прямоугольной.
основание
основание
Равнобедренная трапеция
Прямоугольная трапеция
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все
углы прямые.
Так как прямоугольник является параллелограммом, то он
обладает всеми свойствами параллелограмма: в
прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали
точкой пересечения делятся пополам.
Диагонали прямоугольника равны.
На рисунке 14 изображен прямоугольник АВСD с диагоналями АС и
ВD. Прямоугольные треугольники АСD и DВА равны по двум
катетам. Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников
равны, т. е. АC = ВD.
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот
параллелограмм – прямоугольник.
B
C
A
D
Рис. 14
Ромб и квадрат.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны
равны.
Т. к. ромб является параллелограммом, то он обладает всеми
свойствами параллелограммом.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы
пополам.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны
равны.
1.Все углы квадрата прямые (рис. 16, а).
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой
пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам
(рис. 16, б).
Свойства квадрата
а
б
Рис. 16
Рассмотрим ромб АВСD (рис. 15). Требуется доказать, что АС┴ ВD
и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба
пополам. Докажем, например, что угол ВАС = угол DАС.
По определению ромба АВ = АD, поэтому треугольник ВАD
равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то его
диагонали точкой О пересечения делятся пополам.
Следовательно, АО – медиана равнобедренного треугольника
ВАD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника.
поэтому АС┴ ВD и угол ВАС = угол DАС.
A
Рис. 17
B
O
D
C
Осевая и центральная
симметрии
Две точки А и А1 называются симметричными относительно
прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1
и перпендикулярна к нему (рис. 18, а). Каждая точка прямой а
считается симметричной самой себе. На рисунке 18, б точки М и
М1, N и N1 симметричны относительно прямой b, а точка Р
симметрична самой себе относительно этой прямой.
A
N1
M
b
a
M1
P
a
A1
Рис. 18
N
б
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если
для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно
прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется
осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает
осевой симметрией.
Фигуры, обладающие осевой симметрии