Следует дать определение базиса линейного пространства

ОБЗОРНАЯ ЛЕКЦИЯ
АЛГЕБРА
Столяр А.М., Южный федеральный университет,
Ростов-на-Дону
2012
1.Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение
в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Извлечение корней из
комплексных чисел ([5, 4]).
•
•
•
•
•
•
•
Следует привести представление комплексного числа (к.ч.) в полярных координатах
(это и является тригонометрической формой к.ч.), дать определение аргумента и
модуля к.ч.;
Вывести формулы произведения к.ч. и деления одного на другое;
Вывести формулу Муавра (возведения в степень);
Желательно дать геометрическую интерпретацию результатов произведения и
деления к.ч.;
Желательно дать определение сопряжённого к.ч. и сформулировать (без
доказательства) теорему о том, как изменится арифметическое выражение, если все
входящие в него величины заменить их сопряжёнными значениями;
С применением тригонометрической формы к.ч. вывести формулы для вычисления
модуля и аргумента корня n-й степени из к.ч.
При ответе на вопрос быть готовым привести или решить пример по теме.
•
•
•
•
•
•
•
2. Определитель квадратной матрицы. Минор и алгебраическое дополнение.
Разложение определителя по элементам строки или столбца ([5, 1]).
Следует дать определение подстановки n-й степени и определителя
n-го порядка;
Перечислить свойства определителя n-го порядка;
Дать определение минора k-го порядка в определителе n-го порядка, его
дополнительного минора и алгебраического дополнения;
Сформулировать теорему о миноре и алгебраическом дополнении: произвед. любого
минора M k-го порядка на его алгебраическое дополнение в определителе является
алгебраической суммой, слагаемые которой, получающиеся от умножения членов
минора M на взятые с определённым знаком члены доп. минора , будут некоторыми
членами исходного определителя, причём их знаки в этой сумме совпадают с теми
знаками, с какими они входят в состав определителя (без доказательства);
Вывести формулу вычисления определителя через его разложение по элементам
строки или столбца.
3. Обратимые матрицы. Критерий обратимости матрицы и
формула обратной матрицы ([6]).
•
•
•
•
Следует дать определение обратимой матрицы (о.м.);
Перечислить свойства о.м.
Дать определение вырожденной матрицы;
Доказать (теорему) критерий обратимости матрицы (матрица обратима
тогда и только тогда, когда она не вырождена) и попутно получить
формулу для вычисления обратной матрицы.
4. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные
множители, каноническое разложение. Простые и кратные корни. Корни
многочлена и его производной. Критерий простоты корней многочлена ([5, 6, 4]).
•Следует дать определение корня многочлена, доказать теорему Безу
(остаток от деления многочлена f(x) на линейный многочлен x-c
равен значению f(c) многочлена f(x) при x=c), дать определение
простого и кратного корня;
•Следует дать формулировку (без доказательства) основной теоремы
алгебры (о.т.а.: всякий многочлен с любыми числовыми
коэффициентами, степень которого >=1, имеет хотя бы 1 корень,
в общем случае комплексный);
•Получить результат о разложении многочлена с комплексными
коэффициентами на линейные множители как следствие из о.т.а.
•Доказать единственность этого разложения;
• Дать определение производной многочлена с комплексными
коэффициентами;
•Доказать теорему о корнях многочлена и его производной и, как
следствие, сформулировать критерий простоты корней многочлена.
5. Разложение многочлена с вещественными
коэффициентами на неприводимые множители.
Существование вещественного корня у многочлена с
вещественными коэффициентами нечетной степени ([5]).
•Следует доказать свойство о том, что если комплексное число
является корнем многочлена с вещественными
коэффициентами, то сопряжённое ему число также будет
корнем этого многочлена, причём их кратности одинаковы;
•Как следствие 1 из данного свойства, доказать результат о
разложении многочлена с вещественными коэффициентами на
неприводимые множители;
•Как следствие 2, доказать результат о существовании
вещественного корня у многочлена с вещественными
коэффициентами нечетной степени.
6. Координаты вектора и их свойства. Преобразование координат
вектора при переходе от одного базиса к другому ([6]).
•Следует дать определение базиса линейного
пространства;
•Дать определение координат вектора, координатного
вектора; Свойства координат вектора;
•Дать определение матрицы Ce f перехода от базиса e
к базису f
•Доказать теорему о связи координат вектора в разных
базисах:
xe  Ce f x f
7. Подпространство решений однородной системы линейных
алгебраических уравнений и его размерность. Фундаментальная
система решений и общее решение ([5]).
•Следует сформулировать свойства решений однородной системы
линейных алгебраических уравнений (ОС ЛАУ);
•Показать, что множество решений ОС ЛАУ является подпространством;
•Дать определение фундаментальной системы решений (ФСР) ОС ЛАУ,
размерности подпространства решений ОС ЛАУ и её общего решения;
•Доказать теорему о числе решений ФСР.
8. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений.
Критерий совместности (теорема Кронекера-Капелли). Частное и
общее решения ([5]).
•Следует определить понятия матрицы и «расширенной» матрицы системы
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ);
•Доказать критерий совместности СЛАУ (теорему Кронекера-Капелли);
•Как следствие, сформулировать алгоритм решения произвольной
неоднородной совместной СЛАУ;
•Доказать теоремы о частном и общем решении СЛАУ.
9. Процесс ортогонализации и существование
ортонормированных базисов в евклидовом пространстве.
Координаты вектора в ортонормированном базисе ([7]).
•Следует дать определение ортонормированного базиса;
•Получить формулы для вычисления координат вектора в
ортонормированном базисе;
•При помощи метода математической индукции обосновать процесс
ортогонализации произвольной системы векторов.
10. Вещественные квадратичные формы и их инварианты при
линейных невырожденных преобразованиях. Закон инерции для
вещественных квадратичных форм ([3, 6, 8, 2]).
•Следует дать определение вещественной квадратичной формы (к.ф.),
матрицы к.ф. в некотором базисе, ранга к.ф.;
•Дать определение канонического и нормального вида к.ф., канонического
базиса, невырожденного преобразования координат;
•Описать метод Лагранжа приведения к.ф. к каноническому виду;
•Дать определение отрицательного и положительного индексов инерции
к.ф.;
•Доказать теорему об их инвариантности относительно выбора
канонического базиса (закон инерции).
11. Линейные операторы. Собственные числа и собственные
векторы линейного оператора и их свойства.
Характеристический многочлен линейного оператора
([7, 2, 8]).
•Следует дать определение линейного оператора (л.о.), его матрицы
в данном базисе;
•Дать определение ядра и образа л.о., привести их свойства;
•Дать определение ранга л.о.;
•Дать определение собственного числа и собственного вектора,
спектра л.о.;
•Доказать теоремы о свойствах собственных чисел л.о.
•Сформулировать теоремы о свойствах собственных векторов л.о.
•Дать определение характеристического многочлена л.о.
Отдельные пункты ответа на вопрос 10.
Определение вещественной к.ф. Пусть в линейном пространстве
,
вещественных
чисел , задан базис e1 e2
Квадратичной формой называется числовая функция
следующего вида
n
 определённом над полем
en
g  x  векторного аргумента x  
n
g  x     aij xi x j
(10.1)
i 1 j 1
Матрицей к.ф. в базисе e называется симметричная
матрица
коэффициентов представления (10.1).
Рангом или индексом инерции к.ф. называется ранг матрицы этой
формы в каком-нибудь базисе .Обозначим его r.
.
Канонический
вид к.ф. Любую вещественную к.ф. можно
преобразовать к каноническому виду:
g  x   b1 y12  b2 y22  ...  br yr2
(10.2)
Закон инерции. Положительный и отрицательный
индексы инерции вещественной к.ф. не зависят от
выбора канонического базиса.
В соответствующих базисах
n
n
x   xi ei  yi f i
i 1
g x 
i 1
a1 x12  a2 x22  ...  a p x 2p  a p 1 x 2p 1  ...  ar xr2
g x 
b1 y12
 b2 y 22
L1  l e1 ,..., e p 
 ...  bq y q2
 bq 1 y q21
 ...  br y r2
L2  l  f q 1 ,..., f n 
dim L1  L2  dim L1  dim L2  dim  L1  L2 
dim L1  L2  p  n  q   dim  L1  L2 
dim L1  L2  0
(10.3)
x0  L1  L2
a112  ...  a p 2p  0
(10.4)
dim  L1  L2   n, p  q
g  x0   a112  ...  a p 2p  bq 1 q21  ...  br  r2
 bq 1 q21  ...  br  r2  0
pq
Отдельные пункты ответа на вопрос 11.
• Имеет место теорема 11.0
1) det A  0
2) ker A  
•Теорема 11.1.
0  Sp A
Доказательство
Ax0  0 x0
Теорема 11.2.
:
3) r  A  dim 

4) im A  
ker A  0 I   
Ax0  0 Ix0  0
x0  ker A  0 I 
0  Sp A  ker A  0 I     r  A  0 I   dim 
 im A  0 I     det A  0 I   0  Ae  0 E  0
Доказательство. Равносильность 1) и 2) следует из теоремы 11.1. Равносильность 2) и
3) следует из свойств 2) и 3) теоремы 11.0. Равносильность 3) и 4) следует из свойств 3)
и 4) теоремы 11.0.
О нахождении собственных чисел.
•
Характеристический многочлен оператора
a11  
det A  I  
a21
a12  a1n
a22    a2 n
    
an1
an 2  ann  