А 1 Р

Теоремы о пропорциональных
отрезках
Геометрия 10 класс
(профильный)
Теорема о пропорциональных отрезках
A
m
К
m q
АО : ОМ  (  1)
n p
p n
BO : OK  (  1)
q m
О
n
В
p
М
q
С
Теорема о пропорциональных отрезках
В
g
к
AO:OK
CO:OD
К
D
О
BO:OM
p
A
m
q
М
n
С
Теорема о пропорциональных отрезках
В
2
AO:OK
BO:OM
К
О
5
A
3
М
4
С
Теорема Чевы
Теорема : Пусть точки А1, В1,С1 лежат соответственно на сторонах ВС,
АС и ВА треугольника АВС (рис. 6). Отрезки АА1 ВВ1 и СС1
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется
равенство
B
C1
A1
АС1 ВА 1 СВ1


 1.
С1В А1С В1А
M
Доказательство.
A
B1
C
Теорема Чевы
М
3
4
В
С
2
2
Р
К
3
А
4
Теорема Чевы
М
5
9
В
С
3
3
Р
К
2
А
6
Теорема Менелая
Теорема: Если точки С1 и А1 лежат на сторонах АВ и ВС
треугольника АВС, а точка В1 — на продолжении стороны АС
этого треугольника, то эти точки лежат на одной прямой тогда
и только тогда, когда выполняется равенство
В
С1
АВ1 СА1 ВС1


 1.
В1С А1 В С1 А
А1
Доказательство.
В1
А
С
Теорема Менелая
АВ1 СА1 ВС1


 1.
В1С А1 В С1 А
Доказательство.
АВ1
А1 D

В1С
А1C
В
С1
Е
В1
А1
D
А
С
F
Теорема Менелая
АВ1 СА1 ВС1


 1.
В1С А1 В С1 А
Доказательство.
В
С1
АВ1
А1 D

В1С
А1C
BC1
BА1

C1 A
А1 D
АВ1 BC1
А1 D BA1



В1С C1 A
А1C A1 D
А1
D
АВ1 BC1
BA1


В1С C1 A
А1C
АВ1 BC1 CA1


1
В1С C1 A А1 B
Е
В1
А
С
Теорема Менелая
С
А1
С1
В
В1
А
Задачи
Задача 1. Докажите, что если в
треугольник вписана окружность, то
отрезки, соединяющие вершины
треугольника с точками касания
противоположных сторон, пересекаются
в одной точке.
B
Доказательство. Пусть А1 ,B1 и С1
— точки касания вписанной
окружности треугольника АВС. Для
того чтобы доказать, что отрезки
АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в
одной точке, достаточно показать,
что выполняется равенство Чевы:
AC1 BA1 CB1


 1.
C1 B A1C B1 A
Используя свойство касательных,
проведенных к окружности из одной
точки, введем обозначения: BC1 =
BA1 = x, CA1 = CB1 = y, AB1 = AC1 =
A
z.
A1
C1
z
AC1 BA1 CB1
z x y


    1.
C1 B A1C B1 A x y z
Равенство Чевы выполняется,
значит, указанные отрезки
(биссектрисы треугольника)
пересекаются в одной точке. Эту
точку называют точкой Жергона.
x
x
y
z
B1
y
C
Задачи
Задача 2. Докажите, что биссектрисы
треугольника пересекаются в одной
точке.
Доказательство:
Достаточно показать, что
.
Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2,
CL3 пересекаются в одной точке. По свойству
биссектрис треугольника:
Перемножая почленно полученные
равенства, получаем:
Итак, для биссектрис треугольника равенство
Чевы выполняется, следовательно, они
пересекаются в одной точке.
Теорема доказана.
Задачи
Задача 3. В треугольнике АВС AD —
медиана, точка О — середина медианы.
Прямая ВО пересекает сторону АС в
точке К. В каком отношении точка К
делит АС, считая от точки А.
Решение.
Пусть BD = DC = а,
АО = OD = m. Прямая
ВK пересекает две
стороны и
продолжение третьей
стороны треугольника
ADC.
По теореме Менелая
AK 2a m

  1,
KC a m
Ответ: 1 : 2.
AK 1
 .
KC 2
Задачи
Задача 4. На стороне АС треугольника
АВС взята такая точка М, что 3АМ = АС,
а на продолжении стороны ВС – такая
точка N (С-В-N), что BN = СВ. В каком
отношении точка Р – точка пересечения
отрезков АВ и MN делит каждый из этих
отрезков?
Задачи
Задача 5. В треугольнике АВС,
описанном около окружности, АВ = 8,
ВС = 5, АС = 4. А1 и С1 – точки касания,
принадлежащие соответственно
сторонам ВС и ВА. Р – точка
пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка
Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найдите
АР : РА1.
Решение:
1) 8 – х + 5 – х = 4, х = 4,5 .
Значит,
С1В = ВА1 = 4,5
А1С = 5 – 4,5 = 0,5
АС1 = 8 – 4,5 = 3,5 .
2) В треугольнике АВА1 прямая С1С пересекает две его стороны и
продолжение третьей стороны. По теореме Менелая:
АС1
С1В
·
ВС
А1С
·
А1Р
РА
А1Р · 35· 50
РА · 45 · 5
Ответ: 70 : 9.
=1
3,5
5
А1Р
4,5
0,5
РА
А1Р · 70
=1
РА · 9
=1
А1Р
=1
РА
70
=
9
Задачи
Задача 6. Докажите, что медианы
треугольника пересекаются в одной
точке; точка пересечения делит каждую
из них в отношении 2 : 1, считая от
вершины.
Доказательство: Пусть АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника
АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной
точке, достаточно показать, что
Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ1, ВМ2 и
СМ3 пересекаются в одной точке. Имеем:
Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М3С пересекает две стороны
треугольника АВМ2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме
Менелая
.
Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ1С и АМ2С, мы получаем, что
Теорема доказана.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.В равнобедренный
треугольник АВС с
основанием АС вписана
окружность центром О.
Луч СО пересекает АВ в
точке К, причем АК = 6,
ВК = 12. Найти периметр
треугольника.
2. В треугольнике АВС на
стороне АС взята точка
N так, что NС = 3АN.
Медиана АD пересекает
отрезок ВN в точке F.
Найдите АF:FD.
Вариант 2
1.Окружность с центром О
вписана в равнобедренный
треугольник АВС с основанием АС, касается стороны
ВС в точке К, причем
СК:ВК=5:8. Найдите основание треугольника, если
его периметр равен 72.
2.В треугольнике АВС на
стороне АС взята точка Р.
Медиана АD пересекает
отрезок ВР в точке К так,
что АК = 3КD. Найдите
АР:РС.