Р АССТОЯНИЯ И УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Учимся решать стереометрические задачи.

Учимся решать стереометрические задачи.
Подготовка к ЕГЭ. Задание №14.
РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Учитель: Шарова Светлана Геннадьевна,
МБОУ гимназия, г. Урюпинск, Волгоградская область
ТИПЫ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ УГЛОВ И
РАССТОЯНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
I. Угол между прямыми.
II. Угол между плоскостями.
III. Угол между прямой и плоскостью.
IV. Расстояние от точки до плоскости.
V. Расстояние между скрещивающимися
прямыми.
VI. Расстояние от точки до прямой.
Задача 1.
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник со сторонами AB= 24,
BC = 7, боковые рёбра SA =
, SB =
, SD = 10.
a) Докажите, что SA – высота пирамиды.
b) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решение.
S
E
A
D
O
B
C
Задача 2.
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12. Точка P – середина ребра СВ, точка К лежит на ребре
CD так, что KD : KC=1:2. Плоскость, проходящая через точки P, K и A1 пересекает ребро DD1
в точке М.
a) Докажите, что DM : MD1 = 1: 4.
b) Найдите угол между плоскостями PK A1 и АВС.
Решение.
C1
a)Пусть РК∩AD = L,
A1L∩DD1 = M
D1
B1
⇒LD =3
1) ∆PCK~∆LDK⇒
L
A1
C
K
P
H
M
D
D
H
L
P
B
A
K
C
B
2) ∆MDL~∆A1AL⇒
12
A
⇒MD : D1M =1:4
Задача 3.
Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник
АВС, в котором СВ = СА = 5, ВА = 6. Высота призмы равна 10. Точка М – середина
ребра AA1
a) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости МВC1 и АВС.
b) Вычислите угол между плоскостями МВC1 и АВС.
Решение.
А1
С1
В1
С
М
Р
А
Н
В
Задача 4.
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота РО =
, а сторона
основания равна 6. Из точки О на ребро РС опущен перпендикуляр ОН.
a) Докажите, что прямая РС перпендикулярна плоскости BDH.
b) Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани
РВС и PCD.
Р
Решение.
a)
PC перпендикулярна двум пересекающимся
прямым плоскости BDH, а значит,
перпендикулярна плоскости BDH (по
H признаку перпендикулярности прямой и
плоскости)
D
A
b)
C
O
B
Задача 5.
В правильной треугольной пирамиде SABCс основанием АВС известны ребра
AB =
и SC =17. найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой
АМ, где М – точка пересечения медиан грани SBC.
Решение.
S
1) Так как SM:MT = 2:1 (свойство медиан), то OH:HT = 2:1
(по теореме о пропорциональных отрезках)
∆ABT: ∠T = 900, ∠B =600
M
A
O
B
H
T
C
Задача 6.
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со
сторонами АВ = , ВС =2. Длины боковых рёбер пирамиды SA =
, SB =
,
SD =
.
a) Докажите, что SA – высота пирамиды.
b) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Решение.
a)
S
A
D
B
C
Задача 7.
В правильной треугольной пирамиде SABC точка М – середина ребра SC, точка К –
середина ребра АВ.
a) Докажите, что прямая МК делит высоту SH пирамиды в отношении 1:3.
b) Найдите угол между прямой МК и плоскостью АВС, если известно, что АВ = 6,
SA =5.
Решение.
S
M
E
C
A
H
K
B
Задача 8.
В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 8. Боковое ребро
SD перпендикулярно плоскости основания. Точка М- середина высоты пирамиды.
Плоскость АСМ составляет угол 450 с плоскостью основания.
a) Докажите, что прямая SB параллельна плоскости АСМ.
b) Найдите расстояние от точки В до плоскости АСМ.
Решение.
a) SB║OM⇒SB║(AMC)
S
(по признаку параллельности прямой и плоскости)
b) BH⊥MO
M
M
D
A
C
450
O
D
H
Ответ: 4
450
O
B
450
B
H
Задача 9.
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна
,а
боковое ребро равно 2. Точка М – середина ребро АА1 . Найдите расстояние от точки М до
плоскости DA1C1
Решение
1) Расстояние от точки M до плоскости (А1DC1) – есть
B1
C длина высоты h пирамиды MA1C1D (основание A1C1D).
1
2) Найдем объем пирамиды MDA1C1, но теперь
в качестве основания рассмотрим грань MA1D.
A1
D1
M
B
C
A
D
D
A1
H
3) Заметим, что C1D1⊥(MA1D)
C1
Задача 10.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1
AB = 2, AA1 =3.
a) Докажите, что прямые AC1 и ВЕ перпендикулярны.
b) Найдите расстояние между прямыми AC1 и ВЕ.
Решение.
a) AC⊥BE⇒AC1 ⊥BE по теореме о трёх
C1
D1
перпендикулярах
B1
E1 b) ВЕ ⊥АС1, ВЕ⊥СС1⇒ВЕ⊥(АСС1)⇒ВЕ⊥HQ,
HQ € (ACC1), HQ ⊥ АС1
A1
C
H
D
Q
B
A
HQ –искомое расстояние
F1
∆ACF: ∠A = 900, CF =2+2=4, AF = 2
E
∆AC1C: ∠C = 900
F
∆AHQ: ∠H = 900,
Задача 11.
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Точка N – середина ребра СВ, а точка М лежит на ребре
AA1 , причем AM: MA1 = 3:1. Определите расстояние между прямыми MN и BC1
Решение.
z
•NE║BC1 (построение)⇒ BC1║(MNE)
(по признаку параллельности прямой и плоскости)
•ρ (MN, BC1) = ρ(BC1, (MNE)) = ρ(B, (MNE))
D1
A1
C1
B1
E
M(4;0;3), N(2;4;0), E(0;4;2)
M
D
N
A
x
C
B
B(4;4;0)
y
Задача 12.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой AC1
Решение
A1
C1
а) BK⊥AC1
C1
BK – высота ∆ABC1
К
B1
К
A
C
А
B
М
В