параллелограмм.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.
ПРИЗНАКИ И
СВОЙСТВА.
Выполнила: Рогачева Маша
ученица 8 класса.
Параллелограмм.
Тема1:
B
A
C
D
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ –
четырёхугольник, у которого
противоположные стороны
попарно параллельны.
Первое свойст во параллелограмма.
В параллелограмме противоположные
стороны равны и противоположные
углы равны.
B
C
4
2
1
A
3
D
Рассмотрим параллелограмм ABCD диагональ AC делит его на
два треугольника ABC и ACD. Эти треугольники равны по
стороне и двум прилежащим к ней углам (по 2 признаку) (AC
общая сторона, угол 1 равен углу 2 и угол 3 равен углу 4 т.к
накрест лежащие углы при секущей AC и параллельных
прямых AB и CD, AD и BC) следовательно AB = CD, AD = BC, угол
B равен углу C. Далее пользуясь равенством углов 1и 2, 3 и 4
получаем: угол A = угол 1+3=2+4= углу C.
Вт орое свойст во параллелограмма.
Диагонали в параллелограмме
точкой пересечения делят ся
пополам.
B
1
3
A
C
o
4
2
D
Пуст ь O - т очка пересечения диагоналей AC и BD
параллелограмма ABCD. Треугольники AOB и COD равны
по ст ороне и двум прилежащим к ней углам.(AB=CD как
прот ивоположные ст ороны параллелограмма, угол 1=2 и
угол 3=4 как накрест лежащие углы при пересечение прямых
AB и CD секущими AC и BD) поэт ому AO=OC и OD=OB.
Первый признак параллелограмма.
Если в чет ырёхугольнике две
ст ороны равны и параллельны, т о
B
эт от чет ырёхугольник
1
параллелограмм.
C
3
4
2
A
D
Пусть в четырёхугольнике стороны параллельны AB и
CD,AB=CD. Проведём диагональ BD, разделяющую
данный четырёхугольник на два треугольника: ABD и
CBD. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу
между ними(BD общая сторона , AB=CD по
условию,угол1=2 как накрест лежащие углы при
пересечение параллельных прямых AB и CD и
секущей BD .) поэтому угол 3=4, но углы 3 и 4
накрест лежащие при пересечение прямых BC и AD
секущей BD , следовательно, BC параллельна AD.
Таким образом в четырёхугольнике ABCD
противоположные стороны попарно параллельны,
ВТОРОЙ ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.
Если в четырёхугольнике
противоположенные стороны попарно
равны, то этот четырёхугольник
параллелограмм.
B
C
1
A
2
D
Проведём диагональ BD данного
четырёхугольника ABCD, разделяющую его на
треугольники ABD и BCD . Эти треугольники
равны по трём сторонам(BD - общая сторона, AB
= CD, BC=AD по условию.) поэтому угол 1=2.
отсюда следует, что AB параллельна CD . Т.к
BC=AD, BC параллельна AD, то по 1 признаку
этот четырёхугольник параллелограмм.
Третий признак параллелограмма.
Если в четырёхугольнике диагонали
пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам, то этот
четырёхугольник параллелограмм. B
C
O
3
1
A
5
6
2
4
D
Рассмотрим четырёхугольник ABCD , в котором BD
и AC диагонали пересекаются в точке O и делятся
этой точкой пополам. Треугольник и равны по
первому признак(AO =CO, BO=OD по условию угол
1=2 как вертикальные) поэтому 3=4 и угол 5=6 .
Из равенства углов следует, что AB параллельна
CD, следовательно AB CD равны и параллельны,
по 1 признаку четырёхугольник ABCD
параллелограмм.