Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся “Первые шаги в науку” Направление: математика Тихонов Игорь

Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся
“Первые шаги в науку”
Направление: математика
Тема: «Решения олимпиадных задач через отношения»
Тихонов Игорь
МБОУ лицей 1, г. Комсомольска-на-Амуре
9 класс
Научный руководитель:
БудлянскаяН.Л. учитель математики
г. Комсомольск-на-Амуре, 2012/2013 учебный год
Содержание
1.
2.
Введение
Основная часть
1.
Применение теорем Чевы и Менелая
1.
2.
3.
4.
2.
Барицентрический метод.
1.
2.
3.
3.
4.
5.
Определение центра масс и его основные свойства
Применение барицентрического метода в решении задач..
Применение свойств площадей в решении задач
1.
2.
4.
Теорема Менелая
Теорема Чевы
Следствия из теоремы Чевы
Применение теорем Чевы и Менелая в решении задач
Основные свойства площадей
Решение задач
Задачи для самостоятельного решения
Заключение
Используемая литература
Приложения
Введение
Решая различные задачи по планиметрии, я нередко
сталкивался с определенными трудностями при нахождении
отношений отрезков. Поэтому я решил провести
исследование, предметом которого стали отношения, а
объектом – методы их решения.
Я поставил цель изучить имеющуюся литературу по
данному вопросу, классифицировать найденные методы,
решить задачи с их применением и пронаблюдать
возможности применения различных подходов к одной и
той же задаче. Кроме того, мне захотелось составить свои
задачи к работе и создать в итоге полезное методическое
пособие по теме.
Основная часть
Применение теорем Чевы и Менелая
•
Теорема Менелая
Теорема Чевы
•
Следствия из теоремы Чевы
• Следствие 1.Медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1,
считая от вершины.
• Следствие 2.Биссектрисы треугольника пересекаются в
одной точке.
• Следствие 3. Высоты треугольника (или их
продолжения)пересекаются в одной точке (ортоцентре
треугольника).
• Следствие 4. Серединные перпендикуляры к сторонам
треугольника пересекаются в одной точке.
• Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины
треугольника с точками, в которых вписанная окружность
касается противоположных сторон, пересекаются в одной
точке.
Применение теорем Чевы и Менелая
для решения геометрических задач
Задача 1. В треугольнике ABC, описанном около
окружности, AB =13, BC = 12, AC = 9, A и C - точки касания,
лежащие соответственно на сторонах BC и AB. Q –точка
пересечения отрезков AA и BH, где BH-высота. Найдите
отношение BQ:QH.
•
•
Определение центра масс, его
основные свойства.
Основные свойства центра масс.
1.
2.
3.
Всякая система, состоящая из конечного числа мт, имеет центр
масс, и притом единственный.
Центр масс двух мт находится на отрезке, соединяющем эти точки.
Если в системе, состоящей из конечного числа мт отметить
несколько мт и массы всех отмеченных точек перенести в их центр
масс, то от этого положение центра масс всей системы не
изменится.
Применение барицентрического метода в
решении задач.
Задача 1. Докажем с помощью этих свойств теорему
Архимеда: три медианы треугольника имеют общую точку, и
каждая из медиан делится этой точкой в отношении 2:1, считая
от вершины.
(1)
(2)
(2)
(1)
(2)
(1)
Задача 2. Докажем теорему: Прямая, проходящая через
вершину основания и середину медианы основания, отсекает
от боковой стороны одну треть её.
(2)
(1)
(1)
М (2)
Задача 3. На стороне АС треугольника АВС взята точка
М такая, что АМ=1/3 АС, а на продолжении СВ – такая Т, что
ВТ=СВ. МТ пересекает АВ в точке О. В каком отношении делит
эта точка АВ и МТ?
(1)
(2)
(2)
(1)
(3)
Задача 4. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, K, L,
M и N – середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка
пересечения отрезков KM и LN является серединой этих
отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего
середины диагоналей.
(1)
(2)
(1)
(2)
(2)
(2)
(2)
(1)
(2)
(1)
Задача 5. Дан треугольник ABC. Точка А’ делит ВС в
отношении 7:2. Точка В’ делит отрезок АС в отношении 1:3.
Точка О – точка пересечения АА’ и ВВ’. Найти отношения, в
котором делит точка О эти отрезки.
(2)
(9)
(7)
(21)
(28)
Применение свойств площадей в
решении задач.
Основные свойства площадей.
Для решения задач на площади фигур нам потребуются
следующие факты, небольшие задачи.
1. Медиана делит треугольник на два равновеликих
2. Если у треугольников равны высоты, то их площади
относятся как основания.
3. Площади треугольников, образованных боковыми
сторонами трапеции и её диагоналями равны.
4. Пусть задан произвольный четырехугольник и
проведены его диагонали, тогда произведение
площадей треугольников, прилежащих к
противоположным сторонам четырехугольника, равны.
Решение задач.
Задача 1. Дан произвольный четырехугольник A1B1C1D1. В
нем проведены отрезки A1D, В1А, С1В, D1C как показано на
чертеже. Площади треугольников С1В1В, В1А1А, D1A1A,
соответственно равны S1 ,S2 ,S3. Найти площадь треугольника
D1C1C.
•
Задача 4. Дан правильный девятиугольник, в нем
проведены диагонали, как показано на рисунке. Определить
какая часть треугольника больше, закрашенная или нет.
Задачи для самостоятельного
решения.
• Задача 1. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8,
ВС = 5, АС = 4. А1 и С1 – точки касания, принадлежащие
соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков
АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найдите АР : РА1.
• Задача 2. Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята
точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС
на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.
• Задача 3. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение
отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника
разделена центром окружности, вписанной в треугольник.
• Задача 4. Биссектрисы ВЕ и АD треугольника АВС пересекаются в
точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь
треугольника BQD равна 1, 2АС = 3 АВ, 3ВС = 4 АВ.
• Задача 5. Точки А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в
отношениях 2 : 1 и 1 : 2. Прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О.
Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника
ОВС.
• Задача 6. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС
взяты соответственно точки С1, А1, В1 так, что АВ = ВС1, ВС = СА1, СА
= АВ1. Найдите отношение в котором прямая АВ1 делит сторону
А1С1 треугольника А1В1С1.
• Задача 7. В четырехугольнике ABCD точки M и N середины сторон
AD и BC соответственно. При пересечении диагоналей АС и BD с
отрезком MN образуются точки К и Р соответственно. Отрезки МР,
РК, КN равны между собой. Докажите, что АВСD – трапеция.
• Задача 8. Перпендикуляр к боковой стороне AB трапеции ABCD,
проходящий через её середину K, пересекает сторону CD в точке L.
Известно, что площадь четырёхугольника AKLD в пять раз больше
площади четырёхугольника BKLC, CL = 3, DL = 15, KC = 4. Найдите
длину отрезка KD.
• Задача 9. В трапеции KLMN основания KN и LM равны 12 и 3
соответственно. Из точки Q, лежащей на стороне MN, опущен
перпендикуляр QP на сторону KL. Известно, что P — середина
стороны KL, PM = 4 и что площадь четырёхугольника PLMQ в
четыре раза меньше площади четырёхугольника PKNQ. Найдите
длину отрезка PN.
• Задача 10. В трапеции с основаниями 3 и 4 найдите длину отрезка,
параллельного основаниям и делящего площадь трапеции в
отношении 5:2, считая от меньшего основания.
•
Заключение
• В своей работе я реализовал поставленные цели и задчи. Я
изучил имеющуюся литературу по теме и выбрал три
основных теоретических аспекта, которые позволяют
решить задачи на отношения отрезков:
• Применение теорем Чевы и Менелая
• Применение барицентрического метода
• Применение свойств площадей.
• Коротко изложив теорию, я показал её применение в
решении задач, а теорему о точке пересечении медиан я
доказал и не одним способом. Кроме того я сделал
подборку задач по теме, включив в нее самостоятельное
составленные. Надеюсь, мне удалось создать полезное
пособие для учащихся 8-11 классов, увлекающихся
математикой.
Используемая литература.
1. Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. —
М.: МЦНМО, 2003г.
2. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. 5-е изд, испр. и
доп. - М.: МЦНМО: ОАО Московские учебники, 2006.
3. Р.И. Довбыш Математические олимпиады, 2008г.
4. Э. Н. Балаян. 1001 олимпиадная и занимательная задачи
по математике. Феникс, 2008.