Стохастическая линия

Стохастическая линия
в учебно-методическом
комплекте А. Г. Мордковича по
алгебре и началам
математического анализа
проф. П. В. Семенов,
Издательство «Мнемозина»,
Центр педагогического мастерства,
МГУ .
Абакан 27.03.2015, Красноярск 30.03.2015
Школьная
математика
Стохастика (с 2003)=
статистика+ вероятности+
комбинаторика
Школьная
математика
Стохастика
Школьная
математика
РЕАЛЬНОСТЬ
Стохастика
Школьная
математика
РЕАЛЬНОСТЬ
ОБ ИНТЕГРАЦИИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ
ЛИНИИ В СЛОЖИВШИЙСЯ КУРС
ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Школьное образование и, в частности, школьное математическое
образование – весьма сложная и объемная система, обладающая
именно в силу своей сложности и массивности большой
инертностью и заметной степенью консервативности.

Любые изменения, нововведения, реформы, модернизации и т.п.
возможны тут только с точным учетом сложившихся реалий, при
совершенно необходимом условии наличия тесных взаимосвязей
с имеющейся структурой этого сложного организма.
Стохастика в школьной математике_2
За прошедшие с момента появления инструктивного
письма МО РФ, см. [Болотов], 11 лет авторы
различных учебников весьма по-разному предложили
ученикам и учителям новый стохастический материал.
Поляризация имеющихся позиций весьма
впечатляюща: от полного отрицания самой
возможности изучения стохастики в школе, см.
[Ивашев-Мусатов], до создания УМК по элементам
статистики и теории вероятностей, по существу
отдельных от сложившегося курса алгебры [Тюрин]. I
Стохастика в школьной математике_3
В целом, к настоящему времени, стохастический
материал в школьных учебниках находится на
весьма «птичьих» правах, выступая в роли,
очевидно, дополнительной к имеющемуся курсу
алгебры.
Ученики и учителя безошибочно различают эту
своеобразную чужеродность по простейшему для
них признаку: по условию задач.
Стохастика в школьной математике_4
Почему выпускники школ в России
(пока еще) весьма надежно и
уверенно решают квадратные
уравнения?
Различных ответов может быть много (кстати, ответ
«потому что это очень просто», наверное, самый
неверный из них).
Стохастика в школьной математике_5
На протяжении как минимум 3,5 лет ученики
практически еженедельно решают те или иные
квадратные уравнения.
После середины 8-го класса непросто указать какуюлибо учебную тему, при изучении которой не
пришлось бы решать квадратное уравнение или
неравенство.
Приемлемая прочность усвоения достигается именно
из-за того, что «формула корней квадратного
уравнения» в том или ином виде появляется в
подавляющем большинстве других учебных тем.
Примерно то же, с производной….
Стохастика в школьной математике_6
Без надежной степени равномерной
включенности новых стохастических понятий
и фактов в «обычную» школьную математику
сложно рассчитывать на успех.

Если, при решении задач по элементам комбинаторики,
вероятности и статистики школьники не будут:
 - выполнять преобразования числовых и буквенных выражений
 - решать линейные и другие уравнения и неравенства;
- использовать координаты точек, рисовать и исследовать графики
функций;
 и т.п., то стохастика «повиснет в воздухе», так и останется
дополнением, добавком, «вкладышем» и т.д., к привычной
математике.


Стохастика в школьной математике_7
Верно, на наш взгляд, и обратное. Если при:
 - выполнении преобразований числовых и буквенных
выражений
 - решении линейных и других уравнений и
неравенств;
 - использовании координат точек, исследовании
графиков функций;
и т.п. ни разу не задавать вопросы типа «Сколько
всего…», «В скольких случаях получится, что…», «Чего
больше…», «Что более вероятно…», «Как
распределены…», то классическая школьная
математика так и останется для стохастики не слишком
дружелюбной мачехой
Пример 1
([9,№18.9]) На координатной плоскости отмечены
все точки, абсциссы и ординаты которых равны
одному из следующих чисел: -3, -1, 1, 2, 7
(повторения допускаются). Сколько всего таких
точек отмечено:
а) на плоскости;
б) левее оси ординат;
в) выше оси абсцисс;
г) в круге радиуса 5 с центром в начале
координат?
Пример 2
8_П.47. Выбрали произвольное
целочисленное решение неравенства
x² + 5x - 14 ≤ 0 .
Какова вероятность того, что
выбранное число будет также и
решением неравенства:
а) x² ≤ 1;
б) x² ≤ 3;
в) x² ≥ 4 ;
г) 5x + x² ≥ 0 ?
Пример 3
Что основное: стат., вер., комб.?
1.
По факту, наиболее распространена идея о том, что
базовой для изложения стохастики должна непременно
быть статистическая линия.
Другими словами, начинать полагается с различных
таблиц и диаграмм,… с группировки и обработки
данных, со знакомства с такими понятиями, как размах,
среднее, мода, медиана рядов данных и т.п.
Быть может, хотя весьма и весьма не бесспорно, эта
позиция верна, если рассуждать о преподавании
именно и только стохастики.
Что основное: стат., вер., комб.?
2.
Но если речь идет о сочетаемости с уже существующим
курсом математики, то выдвижение статистики в качестве
доминирующей линии рискованно в реалиях современного
математического образования в России.
Совсем грубо говоря, школьные учителя (да и вузовские
преподаватели) в подавляющем большинстве хоть как-то
знакомы с элементами комбинаторики и простейшими
задачами теории вероятностей, а вот вся статистическая
терминология и идеология для них совершенно нова и
непривычна.
Что основное: стат., вер., комб.?
3
По нашему мнению, в школьном образовании
базовой, фундаментальной должна быть
комбинаторная составляющая, которая
«… по особенному значению своему
принадлежит к таким отделам, преподавание
которых …следует непременно сохранить и
поставить в лучшие условия…».
Она «…представляет средство для одной
из важнейших способностей ума –
способности представлять явления в разных
комбинациях. Эта способность нужна в жизни
всякому…».
Что основное: стат., вер., комб.?
4
На наш взгляд, в основной школе, с комбинаторной точки
зрения вполне хватает развитых на разнообразных
примерах навыков наивного перебора и отбора «руками»
нужных вариантов, умений производит разумно
организованный (например, в виде дерева вариантов)
перебор случаев, и, разумеется, осознанного
использования правила умножения, представленного в как
можно большем числе разных комбинаций.
Скорее всего, про факториалы и перестановки следует
говорить тоже в основной школе: 1) применения правила
умножения. 2) пропедевтика более сложных формул для
из старшей школы. Именно так организовано изучение
комбинаторики в наших учебнике [9].
Комбин. и вероятности _1
Взаимоотношения комбинаторики и теории
вероятностей в школе, скорее всего,
противоположны их отношениям в вузе.
В высшей школе, зачастую, «комбинаторика –
служанка теории вероятностей», т.е.
комбинаторика появляется в тот момент, когда
требуется решить ту или иную вероятностную
задачу
Комбин. и вероятности _2
В общеобразовательной школе, по нашему
мнению, элементы теории вероятностей не
должны главенствовать над развитием
комбинаторных навыков, а, скорее, наоборот:
интересно звучащие, «практикоориентированные» вероятностные задачи
образуют массив учебных задач, на которых
повторяются и закрепляются основные
комбинаторные умения и навыки.
Комбин. и вероятности _3
Идея о возможности формирования и
развития неких вероятностных
«компетенций»,
минуя достаточную комбинаторную базу
подготовки учащихся, по нашему мнению
весьма красива, но излишне виртуальна:
нет никаких примеров ее надежной
реализации на практике.
Про статистику и практ.-ориентир-ть_1
Одним из краеугольных, фундаментальных обоснований
необходимости изучения основ статистики в школе
является тезис об усилении практико-ориентированной
направленности школьного образования вообще и
математического в частности.
При переводе этого, в целом вполне разумного, тезиса
на более приземленный язык довольно часто используют
излишне прагматическую терминологию и говорят о том,
что в школе надо учить тому, что «потом пригодится в
жизни».
«Кому в жизни приходится складывать дроби со
знаменателями, скажем, 17 и 53?» , «Давайте обойдемся
без синусов», «Зачем балерине математика?», и т.п.
Про статистику и практ.-ориентир-ть_2
Имеется совсем немного задач,
содержательных с точки зрения
действительной приложимости «в жизни» и
при этом простых (доступных для
школьников) по технике решения. Но
желание выдержать «генеральную линию»
практико-ориентированности остается, и
приводит это к появлению, например, такого
рода задач..
Про статистику и практ.-ориентир-ть_3




Пример 1. Некий городской житель решил
переехать в деревню. Сведения об
урожайности (ц\га) картофеля в двух селах
таковы:
Село А: 180, 50, 60, 100, 170, 60, 150, 90,
120, 70, 60, 160, 90, 170, 90, 180, 160.
Село Б: 100, 110, 120, 100, 100, 110, 100,
120, 130, 130, 100, 130, 110.
Какому из мест он отдаст предпочтение?
Про статистику и практ.-ориентир-ть_4
Пример 2. Известно, что Аня обычно звонит
Лене 4 раза в день. Можно ли считать
достоверным, что она ей и завтра позвонит
столько же раз?
Пример 3. По многолетним данным отдела
технического контроля (ОТК)
радиотехнического завода среди тысячи
выпускаемых полупроводников марки №ТТМ в
среднем 4 полупроводника оказываются
бракованными. Какова вероятность того,
что случайно выбранный полупроводник
окажется исправным?
Про статистику и практ.-ориентир-ть_5
1) Мало данных – не реально.
Много данных – реально, но не посчитаешь.
2) Излишнее разнообразие приводит к явной
перегрузке. Сейчас ученикам приходится иметь дело
с монетками, с кубиками, с урнами и шарами, с
расписанием поездов,… и т.д., и т.п. Все это –
интересные вещи, но, во-первых, они почти
«перпендикулярны» задачам стандартного,
сложившегося курса математики, а, во-вторых, при
массовом изучении новых ситуаций в основной
школе ученики элементарно должны привыкнуть к
каждому сюжету примерно так же, как они привыкают
(да и то, с трудом) к задачам на движение, на работу,
на смеси и сплавы и т.п.
Про статистику и практ.-ориентир-ть_6
Если серьезно говорить важной и социально значимойй
задаче повышения статистической грамотности
населения, то к ее
решению стоит подходить не столько «вертикально» (5-11
классы внутри одной математики), сколько
«горизонтально» или фронтально, вводя и активно
используя простейшие приемы статистической обработки
данных и в информатике, и в физике, и в географии, и в
истории, и в ОБЖ, и т.д. Тогда многообразие
статистических ситуаций будет более или менее
равномерно распределено по всем учебным предметам, а
не будет концентрироваться на одном уроке в неделю по
одной только математике.
Про статистику и практ.-ориентир-ть_7
За приложениями статистики совсем не
обязательно ходить куда-то далеко, регулярно
описывая и придумывая различные
псевдопрактические ситуации.
Ненужная множественность и разнообразие
сюжетов задач по статистике может только
напугать учеников.
Материал школьных учебников по алгебре
или по геометрии также может быть
рассмотрен в качестве нормального объекта
для простейших статистических исследований.
Основные положения УМК
1. В основном, стохастика – часть математики, а
не
отдельный
предмет.
Нужно
«интегрирование»
(объединение),
а
не
«дифференцирование» (различение)
2. Вопросы статистической грамотности следует
решать не только на уроках математики.
3. Приоритет комбинаторной (не формульной)
составляющей перед остальными.
4.
Излишняя множественность «реальных»
ситуаций имеет обратный эффект: ученик
привыкает к тому, что реальность – не причем
Спасибо за внимание
Школьная
математика
Стохастикаа
Реальность