Первый признак подобия треугольников

Геометрия
8 класс.
•
Какие треугольники называются
подобными?
Чему равно отношение площадей подобных
треугольников?
• Чему равно отношение площадей
треугольников, имеющих равные углы?
Треугольники с равными
углами
Треугольники с равными
углами
Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно
равны двум углам другого треугольника,
(по двум углам)
то такие треугольники подобны.
B
Дано:
Р
C
A
Т. к. по условию
М
К
Доказательство:
А=
Ми
В=
Р, то
АВС и
МРК,
А=
М,
В=
Р.
Доказать:
АВС
~
С=
МРК.
К.
По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол,
получаем:
S АВС
АВ ∙ АС ; S АВС
ВА ∙ ВС ; S АВС
СА ∙ СВ
МР ∙ МК
РМ ∙ РК
КМ ∙ КР
SМРК
SМРК
SМРК
Из этих равенств следует: АВ
ВС
АС
МР
РК
МК
Итак, углы одного треугольника равны углам другого треугольника,
а их сходственные стороны пропорциональны, значит,
по определению треугольники АВС и МРК подобны.
Признак подобия треугольников
по двум углам
• Докажите, что
треугольники подобны и
укажите их
сходственные стороны
Признак подобия треугольников
по двум углам
• Докажите, что
треугольники
подобны и укажите
их сходственные
стороны
E
M
O
P
D
PEMD - трапеция
№4
B
A
H
C
№5
B
C
K
A
F
D
ABCD - параллелограмм
№6
B
A
C
D
№7
DE||AC
Найти: AB; BC.
B
8
x+6
D
10
E
x
A
15
C
a||b
Найти: x; y.
№8
D
a
y
5
x
b
A
y-1
E
2x-3
B
4
C
№9
A
Найти: BC; MN.
N
4
6
C
12
B
M
15
K
№ 10
Найти: BO; CO.
B
C
10
5
O
6
A
8
D
№ 11
Найти: BC.
B
C
9
E
10
A
6
K
D
ABCD - параллелограмм
№ 12
B
A
4
D
Найти: BD.
16
C
Признак подобия треугольников
по двум углам
№ 551(б)
На стороне СD
параллелограмма
ABCD отмечена
точка Е. Прямые
АЕ и ВС
пересекаются в
точке F.
Найдите DЕ и ЕС,
если АВ = 8 см,
AD= 5см, CF=2см
Пример задачи № 17 из модуля «Реальная
математика» ГИА по математике
Сосна высотой 2 м отбрасывает тень длиной 3 м. Найдите
рост человека (в метрах), стоящего около сосны, если
длина его тени равна 0,4 м
Пример задачи № 17 из
модуля «Реальная
математика» ГИА по
математике
На сколько метров
поднимется
прикреплённый к
колодезному
журавлю конец
верёвки, если
человек опустил
короткий конец
журавля на 80 см?
Плечи журавля
составляют 2 м и
6 м.
Нужный вывод
Дано:
С
О, АВ СК.
Доказать:
3
А
1
М
ОА
ОВ
АС
ВК
Доказательство:
2
Проведём АМ
О
Значит,
В
АОВ и
К
ОК, значит,
Т. к. по условию АВ
СК, то
1=
О.
2=
3.
САМ подобны по двум углам, следовательно,
ОА
АС
сходственные стороны пропорциональны:
ОВ
АМ
ОА
АС
ВАМК – параллелограмм, значит, АМ = ВК
ОВ
ВК
Вывод: если стороны угла пересечены параллельными прямыми,
то отрезки, образованные последовательно на одной стороне угла,
пропорциональны отрезкам, образованным последовательно
на другой стороне угла.
Решение задачи
Диагонали трапеции АВСК пересекаются в точке О. Площади
треугольников ВОС и АОК относятся как 1: 9. Сумма оснований
ВС и АК равна 4,8 см. Найдите основания трапеции.
В
С
О
А
Дано: АВСК – трапеция, ВС + АК = 4,8 см,
SСОВ : SАОК = 1 : 9.
Найти: ВС, АК.
К Решение:
АВСК – трапеция, значит, ВС АК, следовательно,
как накрест лежащие (секущая – АС), аналогично
САК =
АКВ =
АСВ,
СВК.
Значит, по двум углам треугольники СОВ и АОК подобны, следовательно,
SСОВ : SАОК = k2, а по условию SСОВ : SАОК = 1 : 9, т. е. k2 = 1/9; k = 1/3.
По доказанному треугольники СОВ и АОК подобны, следовательно,
ВС : АК = k, т. е. ВС : АК = 1/3, значит, ВС = 1/3 АК или АК = 3 ВС.
А по условию ВС + АК = 4,8 см, значит, ВС + 3 ВС = 4,8; 4 ВС = 4,8.
Получаем: ВС = 1,2 см, АК = 4,8 – 1,2 = 3,6(см).
Ответ: ВС = 1,2 см, АК = 3,6 см.