Системы линейных уравнений

Устойчивость. Корректность.
Сходимость .
• Задача называется устойчивой по исходному
параметру х, если решение у непрерывно от
него зависит, т. е. малое приращение исходной
величины x приводит к малому приращению
искомой величины y .
• Задача называется поставленной корректно,
если для любых значений исходных данных ее
решение существует, единственно и устойчиво
по исходным данным.
• сходимость итерационного процесса.
• Говорят, что последовательность значений
полученных с помощью итерационного
процесса x1 , x2 , , xn сходится к точному
решению x  a, если при неограниченном
возрастании числа итераций предел этой
последовательности существует и равен a:
lim xn  a
n 
В этом случае имеем сходящийся численный
метод.
Системы линейных
уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений
a11 x1  a12 x2 
 a1n xn  b1 ,
a21 x1  a22 x2 
 a2 n xn  b2 ,
am1 x1  am 2 x2 
 amn xn  bm
Ее можно записать в векторно-матричном
виде
Ax  b
Методы решения линейных
систем
• 1. прямые методы (используют
конечные соотношения, формулы для
вычисления неизвестных. Используются
для не слишком больших систем с
определителем не близким к нулю)
• 1.1 Метод Гаусса.
• 1.2 Метод Крамера.
• 1.3 Метод обратной матрицы.
• 1.4 Метод Жордана (матрица системы
приводится к диагональному виду).
• 2. Итерационные методы.
• 2.1 Уточнение решений.
• Решение СЛАУ получаемые с помощью прямых
методов, обычно содержат погрешности,
вызванные округлениями при выполнении
операций над числами с плавающей точкой.
• В ряде случаев эти погрешности могут быть
значительными, и необходимо найти способ их
уменьшения.
• Найдем решение системы линейных уравнений
Ax  b (1)
• Пусть с помощью некоторого прямого метода
вычислено приближенное решение x (0); (т. е.
(0)
(0)
x
приближенные значения неизвестных 1 , …, xn
называемое начальным или нулевым приближением к
решению.
• Подставляя это решение в систему (1) получим
Ax (0)  b(0)
(2)
• Вычитая (2) из (1) (обозначив
(0)
(0)
(0)
(0)
,
x  x  x r  b  b )
• получаем
Ax
(0)
 r
(0)
• Решая эту систему, находим значение
погрешности x(0) ( которое используем в
(0)
качестве поправки к приближенному решению x
вычисляя таким образом новое приближенное
решение: x(1)  x(0)  x(0) , далее
x
(2)
 x  x
(1)
(1)
• Процесс продолжается до тех пор, пока
очередное значение погрешности (поправки) x( k )
не станет достаточно малым,
• критерием окончания итерационного процесса
можно считать выполнение одного из
неравенств
x ( k )  x( k 1)   , (3)
max xi( k )  xi( k 1)   , (4)
1i  n
• 2.2 Метод простой итерации.
• запишем исходную систему в виде (1) Ax  b;
и выполним ряд преобразований
0  b  Ax;
x  b  Ax  x;
x  (b  Ax)  x;
x  ( E   A) x   b
x  Bx   b
• Тогда по известному k-му приближению можно
найти (k+1)-е приближение
x
•
( k 1)
 Bx
(k )
  b, k  0,1,...
- метод простой итерации.
• Для его применения нужно задать неопределенный
пока параметр  .
• От значения  зависит, будет ли сходиться метод, а
если будет, то какова будет скорость, т. е. как много
итераций нужно совершить для достижения
требуемой точности.
• Теорема.
Пусть det A  0. Метод простой итерации
сходится тогда и только тогда, когда все
собственные числа матрицы В  A  E по
модулю меньше единицы.
• ( на практике  можно положить равным
некоторому постоянному числу, например, 1, 0.1
и т. д. )
• 2.3 Метод Гаусса-Зейделя.
• Одним из самых распространенных
итерационных методов, отличающийся
простотой и легкостью программирования,
является метод Гаусса-Зейделя.
• Рассмотрим систему n линейных уравнений с n
неизвестными. Запишем ее в виде
a i1 x1 
 a i , i 1 xi 1  a i i xi  a i , i 1 xi 1 
i  1, 2,
 a i n xn  bi ,
, n.
• (будем предполагать, что все диагональные
элементы отличны от нуля).
• В соответствии с методом Гаусса-Зейделя k-е
приближение к решению можно представить в
виде
xi( k )

1

bi  a i1 x1( k ) 
a ii
 a i ,i 1 xi(k1) 
a i ,i 1 xi(k11) 
i  1, 2,
, n.
 a in xn( k 1)

• Итерационный процесс продолжается до тех
пор, пока все значения xi( k ) не станут близкими
к xi(k 1) т. е. в качестве критерия завершения
итерации используется одно из условий (3-4).
• Для сходимости данного итерационного процесса
достаточно, чтобы модули диагональных
коэффициентов для каждого уравнения системы
были не меньше сумм модулей всех остальных
коэффициентов:
a ii   a i j , i  1, 2,
, n.
• (при этом хотя бы для одного уравнения
неравенство должно выполняться строго)
• Эти условия являются достаточными для
сходимости метода, но они не являются
необходимыми.
• Проиллюстрируем этот метод на примере
решения системы
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 ,
a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 ,
a31 x1  a32 x2  a33 x3  b3 .
• Приближение с номером k можно вычислить, зная
приближение с но- номером k -1, как


x1( k )
1

b1  a12 x2( k 1)  a13 x3( k 1) ,
a 22
x2( k )
1

b2  a 21 x1( k )  a23 x3( k 1) ,
a11
x3( k )
1

b3  a 31 x1( k )  a32 x2( k ) ,
a 33



