Полный дифференциал функции нескольких переменных

Полный дифференциал функции
нескольких переменных
Лекция 2
Полное приращение функции
2-х переменных
Если обеим переменным дать
приращение, то функция получит
полное приращение
z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )
Определение
дифференцируемой функции
Функция z  f ( x, y ) называется
дифференцируемой в точке М(х,у), если ее
полное приращение можно представить в виде
z  Ax  By  o(  ) ,
где Δx и Δy -произвольные приращения аргументов
х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В –
постоянные, независящие от Δx и Δy
, o(ρ)-
бесконечно малая более высокого порядка, чем
  x 2  y 2 -расстояние между М(х,у) и
M1 ( x  x, y  y)
Определение дифференциала
Главная линейная относительно Δx и
Δy часть полного приращения функции
z  f ( x, y ) называется полным
дифференциалом этой функции и
обозначается dz или df(x,y) .
Таким образом, dz  Ax  By .
Формула для вычисления
дифференциала
Если функция z  f ( x, y )
дифференцируема в точке М(х,у),то она
имеет в этой точке частные
производные f x ( x, y) и f y ( x, y ) ,
причем f x ( x, y) =А, а f y ( x, y ) =В .
Так что, z  f x x,yx  f y x,yy  0ρ
dz  f x ( x, y )x  f y ( x, y )y .
Если положить x  dx, y  dy ,то
dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy
При малых 
z  dz , то есть
f x  x, y  y   f x,y  f x x,yx  f y x,yy
или
,
f x  x,y  y   f x,y  f x x,yx  f y x,yy .
Пример. Вычислить приближенно


ln 3 1,03  4 0,98  1
.
Дифференциалы высшего
порядка
Дифференциалом второго порядка
функции z=f(x,y) называется
d 2 z  d (dz )
n 1
Вообще: d z  d (d z )
Если х и у независимые переменные, то
2
2
2
.
d z  z  dx  2 z  dxdy  z  dy
n
xx
xy
yy
Экстремумы функции двух
переменных
Определение. Говорят, что в точке P0 ( x0 , y0 )
функция f (x,y) имеет максимум, если
cуществует такая окрестность этой точки, что
для всех точек P(x,y) этой окрестности,
отличных от P0 ( x0 , y0 ) , выполнено
неравенство
f ( P0 )  f ( P).
Аналогично определяется минимум функции.
Минимум и максимум функции называются
ее экстремумами.
Экстремумы функции двух
переменных
Теорема (необходимое условие
экстремума). В точке экстремума
функции нескольких переменных
каждая ее частная производная либо
равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых выполнены эти
условия, называются критическими.
Достаточные условия экстремума
функции двух переменных
Теорема. Пусть функция z=f(x,y) определена и
имеет непрерывные частные производные до 3-го
порядка в некоторой окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ), в
которой z x  z y  0 . Если при этом в этой точке
выполнено условие   z xx
 z yy  ( z xy ) 2  0, то точка M 0
является точкой экстремума функции, причем точкой
  0 , и точкой минимума, если
максимума, если z xx
z xx  0 .
2






Если же в этой точке   z xx z yy  ( z xy )  0 , то
экстремума в точке M 0 нет.
В том случае, если   z xx z yy  ( z xy ) 2  0 в точке M
, 0
теорема ответа не дает.
Пример
Исследовать на экстремум функцию
50 20
z  xy   , åñëè x  0 u y  0.
x
y
Наибольшее и наименьшее
значения функции
Определение. Наименьшее или
наибольшее значение функции в
данной области называется
абсолютным экстремумом функции
(абсолютным минимумом или
абсолютным максимумом
соответственно) в этой области.
Известно, что непрерывная в
замкнутой ограниченной области
функция достигает в ней своих
наибольшего и наименьшего
значений.
Абсолютный экстремум
достигается функцией либо в
критических точках, либо на
границе области.
Пусть функция непрерывна в замкнутой
ограниченной области G, дифференцируема
внутри этой области. Чтобы найти
наибольшее и наименьшее значения функции
в этой области, нужно:
1)найти критические точки, принадлежащие
этой области, и вычислить в них значения
функции;
2)найти наибольшее и наименьшее значения
функции на границе области;
3)из всех найденных значений выбрать
наибольшее и наименьшее.
Пример
Найти наибольшее и наименьшее
значения функции
z  x  3y  x  y
в треугольнике, ограниченном прямыми
2
,
.
2
x  0, y  0, x  y  1.
Скалярное поле
Лекция 3
Основные определения
Пусть в области D пространства
Охуz задана функция u=u(х,у,z). В этом
случае говорят, что в области D задано
скалярное поле, а саму функцию
u=u(х,у,z)называют функцией поля.
Например, поле давлений, температур
и т.д.
Основные определения
Множество точек М области D, для
которых скалярное поле сохраняет
постоянное значение, т. е. u(М)=С,
называется поверхностью уровня ( или
изоповерхностью) скалярного поля.
Если область D расположена на
плоскости Оху, то поле u=u(х,у)
является плоским.
Поверхности уровня называют в
этом случае линиями уровня.
Пусть
2
f( x y)  x  y
2
f
Линии уровня
Пусть z  x  y . Линии уровня этой
поверхности имеют вид
2
f
2
Пусть дан конус
1
x
y

f( x y )  

4 
9
2
2
2
f
Линии уровня конуса
f
Пусть задана дифференцируемая
функция u  u x, y, z скалярного поля.
Рассмотрим точку Px, y, z  этого поля и
луч  , выходящий из точки P в
направлении единичного вектора


  cos α; cos β; cos γ ,
0
где α, β,
вектором
γ –углы, образованные
0
 с осями координат .
Определение
z
P1
γ
ℓ
β
P
  PP1  x 2  y 2  z 2
α
0
x
x
y
Рис.
Пусть P1 x  x , y  y , z  z 
– какая-нибудь другая
точка этого луча.
Обозначим
– расстояние между
точками P и Ρ1 ; 
называют величиной
перемещения.
Приращением функции
в направлении 
назовем разность
  u  uΡ1   uΡ 


Производной функции u  u x, y, z
в точке P по направлению  называется
предел отношения приращения
функции в направлении

к величине перемещения 
при   0 :
.
 u
u
 lim
  0 
Вычисление производной по
направлению
Формула вычисления производной по
направлению:
u u
u
u

cos   cos   cos  , ãäå

x
y
z
ly
lx
lz
cos  , cos   , cos   ,
l
l
l
l  lx2  l y2  lz2 .
Градиент скалярного поля
Градиентом скалярного поля
u=u(x,y,z), где u=u(x,y,z)дифференцируемая функция,
называется вектор с координатами
u u u
.
, ,
x y z
u u u
Таким образом, gradu  ( , , )
x y z
u
u
u
j
k
или gradu  i 
x
y
z
.
Пример
2
2
Найти градиент функции u= x  y  z
2
в
точке M(6,2,3).
Решение. Вычислим градиент функции.
y
x
u 
u 
y
x
2
2
2
x2  y 2  z 2
x  y z
z
u 
z
Тогда grad u =
А в точке М
x2  y 2  z 2
x
x y z
2
2
2
i+
y
x y z
2
2
2
6 2
3
gradu  i  j  k .
7 7
7
j+
z
x y z
2
2
2
k
Направление градиента
Теорема. Производная u l
функции по направлению равна
проекции градиента этой
функции на данное
направление (в
соответствующей точке).
Направление градиента
Так как производная по направлению
представляет собой скорость изменения
функции в данном направлении , а проекция
вектора на другой вектор имеет
максимальное значение, если оба вектора
совпадают по направлению, то
градиент функции в данной точке указывает
направление наиболее быстрого возрастания
функции.
Величина градиента плоского
скалярного поля
Величина градиента плоского
скалярного поля ,т.е.
2
2
 u   u 
   
 grad u  =  x   y 
обозначается tg и определяет
крутизну наибольшего ската или
подъема поверхности u = f (x, y).
Градиент скалярного поля в данной
точке по величине и направлению равен
максимальной скорости изменения поля
в этой точке, т. е.
u u
,
max

 gradu
l l *
*
где l  gradu .
l
Направление градиента
Точка Р, в которой gradu(P)=0, называется
особой точкой скалярного поля. В противном
случае эту точку называют неособой или
обыкновенной точкой поля.
Теорема. Во всякой неособой точке
плоского скалярного поля градиент поля
направлен по нормали к линии уровня ,
проходящей через эту точку, в сторону
возрастания поля.