Основные понятия кинематики

КИНЕМАТИКА
8. ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ
8.1. Способы задания движения точки
Кинематикой называют раздел механики, в котором
рассматривают движение тел и точек без учета сил,
приложенных к ним.
Система отсчета - реальное или условное тело,
относительно которого определяют положение и
движение других тел.
Описание способов сводится к определению:
а) самой системы отсчета;
б) положения точки в пространстве;
в) уравнений движения точки;
г) формул, по которым могут быть найдены кинематические
характеристики движения точки.
8.1.1. Векторный способ
Уравнение движения точки

r - радиус-вектор

r  f t 
Траекторией точки называют некоторую
линию, представляющую собой последовательность положений точки
относительно системы отсчета

Перемещением точки, r, за данный
промежуток времени называется вектор, i
соединяющий начальное и конечное
положения точки на ее траектории
 r
a 

k
O

r1

j
Vср

r0
M1

V
M0
Годографом радиуса-вектора называют линию, описываемую
его концом
Средняя скорость




r1  r0 r
Vср 

t1  t0 t
Мгновенная скорость



dr
V  lim Vср 
t 0
dt
Ускорение точки - это векторная величина, характеризующая изменение скорости точки

 dV
a
dt
8.1.2. Естественный способ
Уравнение движения точки
S  f t 
b
ОМ = S – дуговая координата
Скорость точки
dS
V
dt
  
a  a  an

a

n an
(-)
Ускорение точки
Составляющие ускорения
dV d 2 S 
a 
 2
dt
dt 

V2

an 


(+) τ
O

V

a
M

a - касательная со - ставляющая;
an нормальная составляющая.
8.1.3. Координатный способ
Уравнения
xM  f1 t  
z


движения
yM  f 2 t 
a
точки
z M  f 3 t 
Скорость
Vx  1 t 
точки V   t 

y
2

V
M
zM
x
2
2
2
Vz   3 t  V  Vx  Vy  Vz
yM
xM
Направляющие косинусы
cos   Vx V , cos   V y V , cos   Vz V .
Ускорение точки
a x  dVx dt  d 2 x dt 2  1 t  

2
2
a y  dV y dt  d y dt  2 t 
a z  dVz dt  d 2 z dt 2  3 t  
a  ax2  a y2  az2
y
9. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА
9.1. Поступательное движение тела
Поступательным называется такое
движение тела, при котором любая
прямая, проведенная в теле, остается
при его движении параллельной самой себе
прямолинейная
траектория
А
А
В
криволинейная
траектория
Пример поступательного движения тела
Свойства поступательного движения
при поступательном движении все точки тела:
- описывают одинаковые траектории;
- имеют в любой момент времени равные по модулю
и одинаковые по направлению скорости и ускорения

 
rB  rA  AB
В

rB



drB drA d  AB


dt
dt
dt

d  AB  dt  0

2
d rB d rA
 2
2
dt
dt
2


VB  V A


aB  a A

rA
k
i
o
B’
А
А’
j

rA  f (t )
9.2. Вращательное движение тела
Вращательным называется такое движение тела, при
котором хотя бы две его точки остаются неподвижными
B
Уравнение вращательного движения

  f (t )
- угловая координата
φ
 d
 d 
  lim

  lim

t 0 t
t  0 t
dt
dt
dS h  d
V

 h 
dt
dt
dV d h   
d
a 

 h
 h 
dt
dt
dt

V
dφ
c
M
I
dS
A
II
2
V 2 h   
an 

 h  2

h
9.3. Плоскопараллельное движение тела
Плоскопараллельным (плоским) называется такое
движение тела, при котором все его точки описывают
траектории, параллельные некоторой неподвижной
плоскости
Разложение плоского движения на составляющие
Составляющие плоского
движения:
1) поступательная;
2) вращательная.
B1
B
B’
A
φ
A1
Уравнения плоского движения тела
x A  f t 

y A  f t 
  f t  
Первые 2 уравнения описывают
поступательную составляющую
движения, а последнее уравнение –
вращательную составляющую
Скорости точек при плоском движении тела

 
rM  rA  r 
d

dt



VM  VA  VMA

drA  
 VA 
dt

drM  
 VM 
dt



dr 
 VMA 

dt
O

VM

rM

rA

VA

VA

VMA M

r
A
скорость произвольной точки М тела при его плоском движении
определяется как геометрическая сумма скорости другой какойлибо точки А, называемой полюсом, и скорости точки М,
которую она получает при вращении тела вокруг полюса
Теорема о проекциях скоростей 2-х точек
проекции скоростей двух точек тела, совершающего
плоское движение, на прямую, проходящую через эти
точки, равны между собой



 
VB  V A  VBA
VB V
A
VBx  VAx  VBAx
VBx  VB  cos 

VA

VBA

x
B

A
VAx  VA  cos 
VB  cos   VA  cos
VBAx  VBA  cos 90  0
Мгновенный центр скоростей (МЦС)
МЦС - точка сечения тела, скорость которой в
данный момент времени равна нулю

VA
A
Пусть V p  0, тогда одно 
B
90o
90o

VB
временно должно выполняться
VAAP  VPAP и VBBP  VPBP ,
что невозможно, поэтому
VP  0
P
Скорость произвольн ой точки М
тела равна VM  VMP или VM    MP
ВЫВОДЫ:
1)
практическое значение МЦС заключается в
том, что с его помощью геометрически
сложное плоское движение тела можно
рассматривать как простое мгновенно
вращательное движение относительно оси,
проходящей через МЦС;
2) скорость произвольной точки тела,
совершающего плоское движение,
определяется как скорость, которую она
получает при вращении тела вокруг МЦС
Частные случаи определения положения МЦС
a)
A
ω
P

VA
A 
B
90o
B

VB
VC ω
C
90o
P

VB

VA
A
B
b)
V A VB


AP BP
P
c)

VA

VB
9.4. Движение тела с одной неподвижной
точкой
Уравнения движения
φ = <KOx –угол собственного вращения
z1
Ψ = <x1OK – угол прецессии
Θ = <z1Oz – угол нутации
z
ОК – линия узлов
y
θ
  f1 t  

  f 2 t 

  f 3 t  
x
y1
O
x1
φ
ψ
K
Теорема Эйлера-Даламбера
всякое элементарное перемещение тела, имеющего
одну неподвижную точку, можно представить как
элементарный поворот относительно мгновенной
оси вращения, проходящей через эту точку
Найдем  М , где
h1  d  h2  d ,
т.е.
h1  d  h2  d  0
N
z
h1
z1
h2
dψ
М
P
dφ
dφ+dψ
dθ
О
К
Кинематические характеристики тела
Pk
P1
М


drM
VM 
dt

 d

dt
Pn
ε1
ω1
O
ωn
годограф ω
Кинематические характеристики точки
P
V  r
  r  r sin   h
dV
a

dt
dr 
 d
 
 r     

dt 
 dt
 
   r     V 
a    r 


h
α
O
М

V

rM
a n    V 
9.5. Движение свободного тела
z1
Уравнения движения тела :
 x1 A  f1 t  y1 A  f 2 t  z1 A  f 3 t 

   f 4 t    f 5 t    f 6 t 
Скорость точки М :

 
VM  VA  VMA

 
VMA    AM
Ускорение точки М :



aM  a A  aMA
P

VA
x

VA
z


M VMA
y
A
O
x1

VM
y1

a MA    AM    VMA 
10. Сложное движение точки
Относительным называется
движение точки относительно
подвижной системы отсчета
z1
x
Переносным называется
движение подвижной системы
отсчета относительно
неподвижной системы отсчета
O
O1
Сложным (абсолютным) называется движение, являющееся
x1
геометрической суммой
относительного и переносного движений
  
Va  Vr  Ve
y

Ve
M
z
 Vr
Va
y1
10.2. Ускорение точки
a a  a r  ae  ac
Ускорение Кориолиса учитывает влияние относительного движения точки на переносную скорость и
переносного движения на относительную скорость
ac  2e  Vr  ac  2 eVr sin  e , Vr 
Правило Н.Е.Жуковского: спроектировать вектор относительной скорости, Vr ,
на плоскость, перпендикулярную оси
вращения, и полученную проекцию, Vrxy ,
довернуть в этой же плоскости на 90 по
направлению вращения
z
ω
x

Vr
y
 V
ac M rxy
Случаи ac=0:
1) ωe=0 – подвижная система отсчета
движется поступательно;
B
2) Vr=0 – в относительном движении
скорость точки может быть
A
равна нулю, как частное
e
значение;
O




3) sin e ,̂ Vr  0 - вектор
угловой скорости параллелен
вектору относительной скорости.
l0
V r A ,B  0

Vr