Уравнение Хоуарта.

Уравнение Хоуарта.
Введение.
При движении тела в жидкости или, что
равносильно, при обтекании тела жидкостью,
частицы жидкости прилипают к поверхности. Это
приводит к появлению силы, препятствующей
движению, которая называется силой
сопротивления трения. Это особенно важно при
обтекании тонкого тела, например, профиля крыла
самолета.
Чтобы найти силу сопротивления трения,
необходимо знать, как движется жидкость вблизи
поверхности тела.
Если это движение не зависит от времени, например, тело перемещается в
жидкости с постоянной скоростью, то течение вблизи поверхности тела можно
описать уравнением
(1)
•
•
•
•
U=U(x) - заданная функция, определяющая скорость на некотором расстоянии
от поверхности.
v - кинематический коэффициент вязкости. Он характеризует силу
сопротивления трения.
x, y - координаты произвольной точки. Ось направлена вдоль поверхности,
перпендикулярно ей.
ψ=ψ(x,y) - так называемая функция тока.
Зная функцию тока, можно найти координаты вектора скорости жидкости
( рис. 1, 2):
V  ui  vj,
u
y


, v
y
x
x
α
y
u
U  U 0i
О
Рис. 1. Обтекание клина
x
x
Рис. 2. профиль продольной
скорости
Линии уровня функции ψ(x,y) совпадают с векторными линиями поля
скоростей жидкости V, то есть частицы жидкости движутся вдоль этих линий
уровня. Одна из таких линий совпадает с поверхностью тела. Удобно считать,
что на поверхности ψ(x,y)=0.
Уравнение (1), задающее функцию тока ψ(x,y), является уравнением с
частными производными, и во многих случаях получение его решений в
аналитической форме сложно, если вообще возможно. Однако существуют
такие течения, для которых решение можно искать в форме
  1 ( x ) f ( 2 ( x, y ))
где φ1 и φ2 - известные функции. Такое решение уравнения с частными
производными называется автомодельным. Его отыскание сводится к
интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения для функции
ƒ(ƞ) одной переменной ƞ=φ2(x,y).
В частности, автомодельное решение получается при расчете обтекания
клина (рис. 1). В этом случае
U  U0 x m
где Uo постоянный модуль скорости набегающего потока (рис. 2),
m

2
, 


Если принять, что
то
 ( x, y ) 
m 1
2
 U 0 x 2,
и 1 ( x ) 
m 1
2
U0
m 1
m 1
x 2 f ( )
(2)
Если подставить это выражение для ψ в уравнение (1), то все множители,
содержащие x, сократятся и получится обыкновенное дифференциальное
уравнение для ƒ(ƞ) :
f ''' ff ''  (1  f '2 )  0
Его часто называют уравнением Хоуарта по фамилии ученого, который его
впервые подробно исследовал.
При этом продольная составляющая скорости
u  U 0 x m f '    U ( x ) f '  
(3)
Продольная составляющая скорости должна удовлетворять следующим
граничным условиям. Так как на поверхности
 (0),  0
из уравнения (2) следует, что
f (0)  0
На поверхности также верно равенство
u
Из равенства (3) получаем, что
y 0
0
f '(0)  0
U(x) есть скорость вдали от поверхности, когда расстояние от нее измеряется
по перпендикуляру к поверхности. Так как
u( x, y ) y   U ( x )
из равенства (3) следует, что
f '()  1
Постановка задачи.
Задачей данной работы является решение
уравнения
f ''' ff ''  (1  f '2 )  0
При краевых условиях
f (0)  0, f '(0)  0, lim f '( )  1
 
В литературе приведены таблицы решений
для ряда значений параметра , то есть для ряда
величин углов клина.
Решение уравнения Хоуарта при помощи метода
Эйлера с пересчетом.
Решение задачи Коши для уравнения порядка, высшего, чем единица, можно
свести к решению этой задачи для системы уравнений первого порядка: вместо
задачи
f ''' ff ''  (1  f '2 )  0
f (0)  0, f '(0)  0, lim f '( )  1
 
можно решить систему уравнений
 f '  ,

 '   ,

2
 '   ff ''  (1  f ' ),
f (0)  0 ,  (0)  0 , lim  ( )  1.
 
Здесь f '   (,)  '  f ''   ( ),  '  f ''', откуда и следует последнее
уравнение системы. При численном решении последнее краевое условие заменяется
равенством вида  (b)  1, где b выбирается настолько большим, что это не
приводит к ошибке в пределах точности вычислений.
По методу Эйлера система решается по формулам:
f i   i   ,
i   i ,


 i   fi i   (1  i2 )  .
f 0  0, 0  0,  0   .
Параметр δ следует найти из условия  (b)  1.
Выведем аналогичные формулы для метода Эйлера с пересчетом.
На основе полученных формул составим программу в Exel и получим таблицу
функций
. Для того, чтобы убедиться в том, что программа работает
правильно, выберем в таблице значение β=1 и соответствующее ему значение δ,
известные нам из литературы (Таблица 1).
Таблица 1
(ЭТА)0
f0
d(ЭТА)
(ФИ)0
(ПСИ)0
β
…
0i
0
0,01
0
1,232588
1
…
(ЭТА)i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
…
422
423
424
425
426
427
428
429
dfi2
d(ФИ)i1 d(ФИ)i2 d(ПСИ)i1 d(ПСИ)i2 fi
(ФИ)i
(ПСИ)i
0 6,16E-05 0,012326 0,012276
-0,01
-0,01
0
0 1,232588
0,000123 0,000184 0,012226 0,012176
-0,01
-0,01 6,16E-05 0,012276 1,222588
0,000245 0,000305 0,012126 0,012076
-0,01
-0,01 0,000246 0,024452 1,21259
0,000365 0,000425 0,012026 0,011976 -0,00999 -0,00999 0,000551 0,036528 1,202595
0,000485 0,000545 0,011926 0,011876 -0,00999 -0,00998 0,000976 0,048504 1,192604
0,000604 0,000663 0,011826 0,011776 -0,00998 -0,00998 0,001521 0,06038 1,182619
0,000722 0,00078 0,011726 0,011677 -0,00997 -0,00997 0,002184 0,072156 1,172642
0,000838 0,000896 0,011627 0,011577 -0,00996 -0,00996 0,002964 0,083833 1,162673
0,000954 0,001012 0,011527 0,011477 -0,00995 -0,00995 0,00386 0,09541 1,152714
0,001069 0,001126 0,011428 0,011378 -0,00994 -0,00993 0,004872 0,106887 1,142767
…
…
…
…
…
…
…
…
…
4,22
0,01
0,01 7,8E-07 7,65E-07 -2,8E-06 -2,8E-06 3,572137 0,999997 7,8E-05
4,23
0,01
0,01 7,52E-07 7,38E-07 -2,7E-06 -2,7E-06 3,582137 0,999998 7,52E-05
4,24
0,01
0,01 7,25E-07 7,12E-07 -2,6E-06 -2,6E-06 3,592137 0,999998 7,25E-05
4,25
0,01
0,01 6,99E-07 6,86E-07 -2,5E-06 -2,5E-06 3,602137 0,999999 6,99E-05
4,26
0,01
0,01 6,74E-07 6,62E-07 -2,4E-06 -2,4E-06 3,612137
1 6,74E-05
4,27
0,01
0,01 6,5E-07 6,38E-07 -2,3E-06 -2,3E-06 3,622137
1 6,5E-05
4,28
0,01
0,01 6,27E-07 6,16E-07 -2,3E-06 -2,2E-06 3,632137 1,000001 6,27E-05
4,29
0,01
0,01 6,05E-07 5,94E-07 -2,2E-06 -2,1E-06 3,642137 1,000002 6,05E-05
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
dfi1
Теперь выберем β=0,75. δ предыдущее.
(ЭТА)0
f0
d(ЭТА)
(ФИ)0
(ПСИ)0
β
…
0i
0
0,01
0
1,232588
0,75
…
(ЭТА)i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
…
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
dfi2
d(ФИ)i1 d(ФИ)i2 d(ПСИ)i1
0
0 6,16E-05 0,012326 0,012288 -0,0075
0,01 0,000123 0,000184 0,012251 0,012213 -0,0075
0,02 0,000245 0,000306 0,012176 0,012138 -0,0075
0,03 0,000366 0,000427 0,012101 0,012063 -0,0075
0,04 0,000487 0,000547 0,012026 0,011988 -0,00749
0,05 0,000607 0,000667 0,011951 0,011914 -0,00749
0,06 0,000726 0,000785 0,011876 0,011839 -0,00749
0,07 0,000844 0,000903 0,011801 0,011764 -0,00748
0,08 0,000962 0,001021 0,011727 0,011689 -0,00748
0,09 0,001079 0,001137 0,011652 0,011614 -0,00747
…
…
…
…
…
4,22 0,023229 0,023258 0,005696 0,005702 0,001178
4,23 0,023286 0,023315 0,005708 0,005714 0,001179
4,24 0,023343 0,023372 0,005719 0,005725 0,001179
4,25 0,023401 0,023429 0,005731 0,005737 0,001179
4,26 0,023458 0,023487 0,005743 0,005749 0,00118
4,27 0,023516 0,023544 0,005755 0,005761 0,00118
4,28 0,023573 0,023602 0,005767 0,005773 0,001181
4,29 0,023631 0,02366 0,005778 0,005784 0,001181
4,3 0,023689 0,023718 0,00579 0,005796 0,001181
4,31 0,023747 0,023776 0,005802 0,005808 0,001182
4,32 0,023805 0,023834 0,005814 0,00582 0,001182
4,33 0,023863 0,023892 0,005826 0,005832 0,001183
4,34 0,023921 0,02395 0,005838 0,005843 0,001183
dfi1
Таблица 2
d(ПСИ)i2 fi
(ФИ)i
(ПСИ)i
-0,0075
0
0 1,232588
-0,0075 6,16E-05 0,012288 1,225088
-0,0075 0,000246 0,024502 1,217589
-0,0075 0,000552 0,03664 1,210092
-0,00749 0,000979 0,048704 1,202596
-0,00749 0,001526 0,060692 1,195104
-0,00748 0,002192 0,072606 1,187616
-0,00748 0,002978 0,084444 1,180132
-0,00747 0,003881 0,096208 1,172653
-0,00747 0,004902 0,107897 1,16518
…
…
…
…
0,001178 5,581553 2,322924 0,569585
0,001179 5,60481 2,328626 0,570764
0,001179 5,628125 2,33434 0,571942
0,00118 5,651497 2,340065 0,573122
0,00118 5,674926 2,345802 0,574301
0,00118 5,698413 2,351551 0,575481
0,001181 5,721957 2,357312 0,576661
0,001181 5,745559 2,363084 0,577842
0,001182 5,769219 2,368868 0,579023
0,001182 5,792937 2,374665 0,580205
0,001182 5,816712 2,380473 0,581387
0,001183 5,840546 2,386292 0,582569
0,001183 5,864438 2,392124 0,583752
Уменьшаем значение δ (Таблица 3).
(ЭТА)0
f0
d(ЭТА)
(ФИ)0
(ПСИ)0
β
…
0i
0
0,01
0
1,152588
0,75
…
(ЭТА)i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
…
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
dfi2
d(ФИ)i1 d(ФИ)i2 d(ПСИ)i1
0 5,76E-05 0,011526 0,011488 -0,0075
0,000115 0,000172 0,011451 0,011413 -0,0075
0,000229 0,000286 0,011376 0,011338 -0,0075
0,000342 0,000399 0,011301 0,011263 -0,0075
0,000455 0,000511 0,011226 0,011188 -0,00749
0,000567 0,000623 0,011151 0,011114 -0,00749
0,000678 0,000733 0,011076 0,011039 -0,00749
0,000788 0,000843 0,011001 0,010964 -0,00748
0,000898 0,000953 0,010926 0,010889 -0,00748
0,001007 0,001061 0,010852 0,010814 -0,00747
…
…
…
…
…
4,22 0,015654 0,015666 0,002375 0,002377 0,000424
4,23 0,015678 0,01569 0,00238 0,002382 0,000424
4,24 0,015702 0,015714 0,002384 0,002386 0,000424
4,25 0,015726 0,015738 0,002388 0,00239 0,000424
4,26 0,01575 0,015762 0,002392 0,002394 0,000424
4,27 0,015774 0,015785 0,002397 0,002399 0,000424
4,28 0,015797 0,015809 0,002401 0,002403 0,000424
4,29 0,015822 0,015834 0,002405 0,002407 0,000424
4,3 0,015846 0,015858 0,002409 0,002411 0,000424
4,31 0,01587 0,015882 0,002413 0,002416 0,000424
4,32 0,015894 0,015906 0,002418 0,00242 0,000424
4,33 0,015918 0,01593 0,002422 0,002424 0,000423
4,34 0,015942 0,015954 0,002426 0,002428 0,000423
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
dfi1
Таблица 3
d(ПСИ)i2 fi
(ФИ)i
(ПСИ)i
-0,0075
0
0 1,152588
-0,0075 5,76E-05 0,011488 1,145088
-0,0075 0,00023 0,022902 1,137589
-0,0075 0,000516 0,03424 1,130091
-0,00749 0,000915 0,045504 1,122595
-0,00749 0,001426 0,056692 1,115102
-0,00749 0,002048 0,067806 1,107612
-0,00748 0,002782 0,078844 1,100126
-0,00748 0,003625 0,089808 1,092645
-0,00747 0,004578 0,100697 1,085168
…
…
…
…
0,000424 4,401372 1,565421 0,23753
0,000424 4,417038 1,567798 0,237954
0,000424 4,432728 1,57018 0,238379
0,000424 4,448442 1,572566 0,238803
0,000424 4,464179 1,574956 0,239227
0,000424 4,479941 1,57735 0,239651
0,000424 4,495726 1,579749 0,240075
0,000424 4,511536 1,582152 0,240499
0,000424 4,527369 1,584559 0,240923
0,000424 4,543227 1,58697 0,241347
0,000423 4,559109 1,589386 0,24177
0,000423 4,575015 1,591806 0,242194
0,000423 4,590945 1,59423 0,242617
Таблица 4
(ЭТА)0
f0
d(ЭТА)
(ФИ)0
(ПСИ)0
β
…
0i
0
0,01
0
1,09044
0,75
…
(ЭТА)i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
…
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
dfi2
d(ФИ)i1 d(ФИ)i2 d(ПСИ)i1 d(ПСИ)i2 fi
(ФИ)i
(ПСИ)i
0
0 5,45E-05 0,010904 0,010867 -0,0075 -0,0075
0
0 1,09044
0,01 0,000109 0,000163 0,010829 0,010792 -0,0075 -0,0075 5,45E-05 0,010867 1,08294
0,02 0,000217 0,00027 0,010754 0,010717 -0,0075 -0,0075 0,000217 0,021659 1,075441
0,03 0,000324 0,000377 0,010679 0,010642 -0,0075 -0,0075 0,000488 0,032376 1,067943
0,04 0,00043 0,000483 0,010604 0,010567 -0,0075 -0,00749 0,000865 0,043018 1,060447
0,05 0,000536 0,000588 0,01053 0,010492 -0,00749 -0,00749 0,001348 0,053585 1,052953
0,06 0,000641 0,000693 0,010455 0,010417 -0,00749 -0,00749 0,001937 0,064077 1,045462
0,07 0,000745 0,000797 0,01038 0,010342 -0,00749 -0,00748 0,00263 0,074494 1,037974
0,08 0,000848
0,0009 0,010305 0,010268 -0,00748 -0,00748 0,003426 0,084836 1,030491
0,09 0,000951 0,001002 0,01023 0,010193 -0,00748 -0,00747 0,004326 0,095104 1,023012
…
…
…
…
…
…
…
…
…
4,79
0,01
0,01 1,43E-07 1,4E-07
-6E-07 -5,8E-07 4,076625 0,999999 1,43E-05
4,8
0,01
0,01 1,37E-07 1,34E-07 -5,7E-07 -5,6E-07 4,086625 0,999999 1,37E-05
4,81
0,01
0,01 1,32E-07 1,29E-07 -5,5E-07 -5,4E-07 4,096625 0,999999 1,32E-05
4,82
0,01
0,01 1,26E-07 1,24E-07 -5,3E-07 -5,1E-07 4,106625
1 1,26E-05
4,83
0,01
0,01 1,21E-07 1,19E-07
-5E-07 -4,9E-07 4,116625
1 1,21E-05
4,84
0,01
0,01 1,16E-07 1,14E-07 -4,8E-07 -4,7E-07 4,126625
1 1,16E-05
4,85
0,01
0,01 1,12E-07 1,09E-07 -4,6E-07 -4,5E-07 4,136625
1 1,12E-05
4,86
0,01
0,01 1,07E-07 1,05E-07 -4,4E-07 -4,3E-07 4,146625
1 1,07E-05
4,87
0,01
0,01 1,03E-07 1,01E-07 -4,3E-07 -4,2E-07 4,156625
1 1,03E-05
4,88
0,01
0,01 9,85E-08 9,64E-08 -4,1E-07
-4E-07 4,166625
1 9,85E-06
4,89
0,01
0,01 9,45E-08 9,25E-08 -3,9E-07 -3,8E-07 4,176625
1 9,45E-06
4,9
0,01
0,01 9,07E-08 8,88E-08 -3,7E-07 -3,7E-07 4,186625
1 9,07E-06
4,91
0,01
0,01 8,7E-08 8,52E-08 -3,6E-07 -3,5E-07 4,196625
1 8,7E-06
4,92
0,01
0,01 8,35E-08 8,18E-08 -3,4E-07 -3,4E-07 4,206625 1,000001 8,35E-06
dfi1
Значение δ при β=0,75 равно 1,09044.
Итак, можно подвести итог. В процессе работы мы:
 Познакомились с таким важным математическим явлением, как




автомодельное решение дифференциального уравнения с частными
производными.
Повторили известные из литературы решения уравнения Хоуарта.
Нашли решение при значении параметра β, не приведенного в литературе,
причем с помощью нашей программы его легко можно получить при
различных значениях параметра β.
Проверили, что можно получить достаточно точные решения уравнения
Хоуарта методом Эйлера с пересчетом при разумном числе шагов
интегрирования.
Выяснили, что достаточно удобно решать краевую задачу для обыкновенного
дифференциального уравнения с помощью математического пакета Excel.