Document 4739401

СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ.
ГРАДИЕНТ.
Скалярное поле и его геометрическое
изображение.
Опр-е: Скалярным полем называется часть пространства
(или все пр-во), каждой точке Р которой соответствует
численное значение некоторой скалярной величины U.
Пр-ры: неоднородное тело, каждой точке которого
соответствует определенное значение плотности, поле
распределения температуры в данном теле; поле
распределения электрического потенциала и т.д.
Скалярная величина U не зависит от времени, а зависит
от положения точки Р в пространстве. Величина U
рассматривается как функция точки Р: u=F(P). Эта функция
называется функцией поля.
U=F(P)=F(x,y,z)
Всякая функция трех переменных
U=(x,y,z) задает
некоторое скалярное поле.
Скалярные поля изображаются геометрически с
помощью поверхностей уровня.
Опре-е: Поверхностью уровня (или эквипотенциальной
поверхностью)
скалярного
поля
называется
геометрическое место точек пространства, в которых
функция поля U=F(x,y,z) имеет одно и то же значение С.
Ур-е поверхности уровня имеет вид:
F(x,y,z)=C
Пр-р: 1) U=x2+y2+z2
поверхности уровня сферы : x2+y2+z2=С.
2)
если
скалярным
полем
является
поле
распределения
температуры
в
некоторой
части
пространства, то поверхностями уровня этого поля будут
так
называемые
изотермические
поверхности,
т.е.
поверхности, на каждой из которых температура постоянна.
Производная по направлению.
Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля
U=F(x,y,z). Рассмотрим точку Р(x,y,z) этого поля и луч l ,
выходящий из точки Р в направлении единичного вектора.




el  cos   i  cos  j  cos   k

 ,  ,  - углы вектора e c осями координат.
где
Опр-е: Производной функции U=F(x,y,z) по направлению l
u
называется предел lim
.
l  0  l
Обозначение:
u
l
.
Производная по направлению
u
l
дает скорость
изменения функции U в этом направлении.
Формула для:
(*)
u
l
u
 Fx( x, y, z )  cos   Fy ( x, y, z )  cos   Fz( x, y, z )  cos 

l
Следствие:
если вектор e совпадает с одним из векторов
  
i , j , k , то производная U по направлению l совпадает c
соответствующей частной производной этой функции.
Пр-р: Найти производную функции u=x2-2xz+y2 в точке
Р1(1;2;-1) по направлению, идущему от точки Р1 к точке
Р2 (2;4;-3).
Решение:





P1 P2  (2  1)i  (4  2) j  (3  1)k  i  2 j  2k
соответствующий
единичный
вектор
_____

 ему 

P1 P2
i  2 j  2k
1
2 
2 
e  ______ 

i 
j 
k
3
3
3
1 4  4
P1 P2
1
2
2
cos   ; cos  ; cos   
3
3
3
Найдем частные производные функции:
u=x2-2xz+y2
u
u
u
 2 x  2 z;
 2 y;
 2 x
x
y
z
Их значения в точке Р1 (1;2;-1);
u
p1  2  2  4
x
u
p1  4
y
u
p1  2
z
Подставляем в формулу (*) найденные значения, получим
искомую производную: u  4  1  4  2  (2)(  2 )  16
l
3
3
3
3
Градиент.
• Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis —
шагающий, растущий) — вектор, показывающий
направление наискорейшего возрастания
некоторой величины , значение которой меняется
от одной точки пространства к другой (скалярного
поля). Например, если взять в качестве высоту
поверхности Земли над уровнем моря, то её
градиент в каждой точке поверхности будет
показывать «направление самого крутого
подъёма». Величина (модуль) вектора градиента
равна скорости роста в этом направлении.
• Термин впервые появился в метеорологии, а в
математику был введен Максвеллом в 1873 г.
Обозначение grad тоже предложил Максвелл.
• В различных отраслях физики используется
понятие градиента различных физических полей.
• Например, градиент концентрации — нарастание
или уменьшение по какому-либо направлению
концентрации растворённого вещества, градиент
температуры — увеличение или уменьшение по
направлению температуры среды и т. д. Градиент
может быть вызван различными причинами,
например, механическим препятствием, действием
электромагнитных, гравитационных или других
полей или различием в растворяющей способности
граничащих фаз, например, октанол/вода.
При изучении скалярных полей наряду с функцией поля
U=F(x,y,z) рассматривается некоторый вектор, тесно
связанный с этой функцией – градиент скалярного поля.
Опр-е: Градиентом в точке Р(x,y,z) скалярного поля,
заданного
дифференцируемой
функцией
U=F(x,y,z),
называется вектор, равный:



gradF ( P)  Fx( x, y, z )i  Fy ( x, y, z ) j  Fz( x, y, z )k
Связь между градиентом функции U=F(x,y,z) в данной
точке и производной по направлению в этой же точке.
Теорема: Проекция вектора grad u на единичный вектор




e  cos   i  cos   j  cos   k равна производной ф-ии U по
направлению l
u
прl gradu 
l

e
!
Проекция grad u на вектор равна скорости
изменения

поля U=F(x,y,z) в направлении вектора e .

Пусть  угол между e и gradu.
Тогда пр gradu  gradu  cos 
l
u
 gradu  cos 
l
если   0, то du имеет наибольшее значение ,
l
равное
gradu .
Вывод: gradu есть вектор, указывающий направление
наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий
модуль, равный скорости этого возрастания.
•
Наибольшая скорость изменения функции U в точке
М равна:
2
 u   u   u 
gradU         
 x   y   z 
2
2
В этом состоит физический смысл градиента.
Пример:Найти наибольшую скорость возрастания
x
y
z
функции U   
в точке А(-1;1;-1)
y
z
x
Решение:
 1 z   x 1 
 y 1 
gradU    2  i   2   j   2   k ;
z
x
z
y x  y
gradU (1;1; 1)  2i  0 j  2k  2i  2k .
Наибольшая скорость возрастания функции равна:
gradU ( A)  4  0  4  2 2
Отметим,что функция U будет убывать с наибольшей
скоростью( 2 2 ),если точка А движется в
направлении - gradU ( A)  2i  2k
(антиградиентное направление).
• Пример:Вычислить производную функции
в точке
в направлении вектора
и градиент.
Решение. Найдем значение частных производных в
точке .
Вычислим направляющие косинусы
Тогда:1)
2)
• Пример. Вычислить производную
функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по
направлению вектора ..AB В (3, 0).
• Решение. Прежде всего необходимо
определить координаты вектора AB
• AB =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 .
• Далее определяем модуль этого
вектора:
AB  8  2 2
• Находим частные производные
функции z в общем виде:
• z
z
x
 2x  y
2
y
 2 xy
• Значения этих величин в точке А :
z
6
x
z
4
y
• Для нахождения направляющих
косинусов вектора производим
следующие преобразования:
s
AB
AB
 i cos   j cos  
2
2 2
i
2
2 2
• За величину s принимается
произвольный вектор, направленный
вдоль заданного вектора, т.е.
определяющего направление
дифференцирования.
• :
j
• Отсюда получаем значения
направляющих косинусов вектора AB
2
cos 
2
2
cos   
2
• Окончательно получаем:
z
2
2
 6
 4
 2
x
2
2
• - значение производной заданной
функции по направлению вектора .