скачать(.pps)

Механические волны
Уравнение плоской волны
Волновое уравнение
Волны
 Процесс распространения
механических колебаний в упругой
среде называется механической
волной.
Волна переносит колебательное
движение, энергию этого движения, но не
сами частицы среды.
Волны
 Волна называется поперечной, если
колебания частиц среды происходят
вдоль направлений, перпендикулярных
к направлению распространения
волны.
 Поперечные волны могут распространяться в тех
средах, в которых возникают упругие силы при
деформации сдвига. Такими свойствами
обладают только твердые тела.
Волны
 Волна называется продольной, если
колебания частиц среды происходят
вдоль направлений, параллельных
направлению распространения волны.
 Продольные волны могут распространяться в
таких средах, в которых возникают упругие силы
при деформации сжатия или растяжения. Такими
средами являются любые тела (твердые, жидкие,
газообразные).
Волны
Основными параметрами волны
являются:
 фазовая скорость  ,
 частота колебаний  ,
 период колебаний Т,
 циклическая частота ω,
 длина волны λ.
Волны
 Фазовая скорость, или скорость
распространения волны  -это скорость,
с которой перемещается в пространстве та
или иная фаза колебания. Фазовая
скорость зависит от плотности среды и ее
упругих свойств.
Волны
Частота колебаний  – число полных
колебаний, совершаемых любой частицей
среды, в которой распространяется волна,
за единицу времени.
 Период колебаний Т – промежуток
времени, в течение которого любая из
частиц совершает одно полное колебание.

Волны
 Циклическая частота
 – число полных
колебаний, совершаемых за 2 секунд.
 Длина волны :  – расстояние между
ближайшими частицами, колеблющимися
в одинаковых фазах (что соответствует
сдвигу фаз, равному 2 ).
Длина волны равна тому расстоянию, на
которое волна распространяется за время,
равное периоду:
  T .
Волны
 Волновая поверхность – это
геометрическое место точек,
колеблющихся в одинаковой фазе.
В зависимости от формы волновой поверхности
различают плоские, сферические,
цилиндрические, эллиптические волны и др.
Волны
 Поверхность, отделяющая
колеблющиеся частицы от частиц, еще
не пришедших в колебания, называется
фронтом волны.
Фронт волны в отличие от волновых
поверхностей, которые неподвижны,
перемещается со скоростью, равной
скорости распространения волны.
Волны
 Нормаль, восстановленная к фронту
волны в данной точке, указывает, в
каком направлении распространяется
волна в этой точке.
Связь между основными параметрами волны
устанавливается формулами:


  
T
2
1 2
T 
v 
Волны
 Величину
k  2 / 
волновым числом.
 Выразив  через
записать


k

называют
и  , можно
Уравнение плоской волны
 Уравнение волны позволяет найти
смещение любой частицы среды, в
которой распространяется волна, для
любого заданного момента времени:
S=S(х, у, z, t), где S – смещение
произвольной частицы от положения
равновесия; х, у, z – декартовы
координаты равновесного положения этой
частицы; t – время.
Уравнение плоской волны
 Зависимость S=S(х, у, z, t) должна быть
периодической функцией как координат,
так и времени.
 Рассмотрим распространение плоской
волны в положительном направлении оси
x.
Уравнение плоской волны
 Выделим две волновые поверхности так,
чтобы одна проходила через начало
координат (поверхность О), другая – через
произвольную точку с координатой х
(поверхность Х).


0

n
x
x
Уравнение плоской волны
 Пусть колебания частиц, принадлежащих
волновой поверхности О, происходят по
закону
S 0  A cos   t
Колебания частиц, принадлежащих поверхности
Х, начнутся позже, так как требуется некоторое
время для того, чтобы волна прошла расстояние,
отделяющее поверхности О и Х.
Уравнение плоской волны
 Это время равно  
x
, где 

скорость распространения волны.
 Следовательно, колебания частиц
поверхности Х будут отставать от
колебаний частиц поверхности О на
S  A cos   (t   )
x
S  A cos   (t  ),

-

:
Уравнение плоской волны
Уравнение

S  A cos(  t  x)

является уравнением плоской волны,
распространяющейся вдоль оси х.
Это уравнение можно записать в виде,
S  A cos(t  kx)
если учесть:

k

Уравнение плоской волны
 Мгновенный график волны имеет вид
Графическое представление
волны
1.5
Смещение S
1
0.5
0
0
10
20
30
40
50
-0.5
-1
-1.5
Координата X
60
70
80
Уравнение плоской волны
 Рассмотрим плоскую волну,
распространяющуюся в произвольном
направлении
y
n
r
k

l
0
x
Уравнение плоской волны
 Колебания в плоскостях, проходящей
через точку О и удаленной от этой точки на
расстояние l , будут происходить по
законам:
S  A cos t.
l
S  A cos  (t  )  A cos(t  kl ).

Уравнение плоской волны
 Рассмотрим скалярное произведение
(n, r )  r cos  l ,
k  kn.
 Уравнение волны принимает вид
S  A cos(t  k  r ) 
A cos(t  k x x  k y y  k z z ).
Волновое уравнение
 Уравнение плоской волны является
решением соответствующего
дифференциального уравнения, которое
называется волновым.
 Волновое уравнение связывает
вторые частные производные от
смещения по координатам со вторыми
производными от смещения по
времени.
Волновое уравнение
 Продифференцируем уравнение волны
дважды по времени и по координатам :
S
  A sin(t  kr )
t
 2S
t
2
  A cos(t  kr )   S
2
2
Волновое уравнение
dS
 Ak x sin(t  kr )
dx
dS
 Ak y sin(t  kr )
dy
dS
 Ak z sin(t  kr )
dz
Волновое уравнение
 2S
x
2
 2S
y
2
 2S
z 2
  Ak x cos(t  kr )  k x S
2
2
  Ak y cos(t  kr )  k y S
2
2
  Ak z 2 cos(t  kr )  k z 2 S
Волновое уравнение
 Сложив вторые производные по
координатам и сопоставив сумму со второй
производной по времени, получим
волновое уравнение
 2S
x
2

 2S
y
 Использовали
2

 2S
z
2

1  2S
 t
2
2
.
2

kx2  k y2  kz 2  k 2 , k 2  2 .
