Лекция "Механические колебания"

Механические
колебания
Лекцию подготовил Волчков С. Н.
План лекции:
1. Колебательная система.
2. Виды колебаний.
3. Уравнение колебаний.
4. Характеристики колебаний.
5. Скорость и ускорение при колебаниях.
6. Резонанс.
При колебательных процессах
состояния
системы
через
определенные
промежутки
времени повторяются точно или
почти точно.
Всем колебательным системам присущ ряд
свойств:
1) У каждой колебательной системы есть
положение равновесия.
2) После того, как колебательная система
выведена из положения устойчивого
равновесия, появляется сила, возвращающая
систему в устойчивое положение.
3) Возвратившись в устойчивое состояние,
колеблющееся тело не может сразу
остановиться. Этому мешает инертность.
Механическими колебаниями называются
движения, которые точно или приблизительно
точно
повторяются
через определенные
интервалы времени.
Колебания называются периодическими, если
значения физических величин, изменяющихся в
процессе колебаний, повторяются через равные
промежутки времени.
По характеру физических процессов в системе,
которые вызывают колебательные движения,
различают три основных вида колебаний:
свободные, вынужденные и автоколебания.
Колебания, возникающие в колебательной
системе,
не
подвергающейся
переменным
внешним воздействиям, вследствие какого-либо
начального отклонения этой системы от
состояния устойчивого равновесия – называются
свободными.
Колебания, совершаемые телами под действием
внешних периодически изменяющихся сил,
называются вынужденными.
Автоколебаниями
называются незатухающие
колебания, которые могут
существовать в системе без
воздействия
на
нее
внешних
периодических
сил.
Для того чтобы описать колебания
тела
количественно,
нужно
воспользоваться
законами
механики Ньютона.
Запишем уравнение движения
для груза на пружине:
ma x   k(x  x0 )  mg (1)
- где
Подставим (2) в (1):
mg
x0 
(2)
k
ma x   kx (3)
Уравнение движения не содержит силы тяжести.
Разделив левую и правую
части (3) на m и введя
обозначение
Получим:
ax 
2
 ω0 x
2
ω0
k

(4)
m
(5)
Ускорение груза прямо пропорционально его
координате, взятой с противоположным знаком.
ω0 – циклическая частота колебаний.
Рассмотрим маятник.
На шарик действуют две силы:
сила тяжести и сила упругости
нити.
Силу тяжести удобно разложить
на две составляющие: тангенциальную, направленную по касательной к траектории перпендикулярно нити, и нормальную,
направленную вдоль нити.
Тангенциальная составляющая силы тяжести
создает тангенциальное
ускорение.
maτ  Fτ (1)
ma τ   mgsin  (2)
a τ   gsin (3)
При малых углах, если
выражать угол в радианах,
следовательно
Очевидно, что
sin  
a τ   g  (4)
s

l
тогда
g
a τ   s (5)
l
Введя обозначение
g
2
 ω0 (6)
l
Приходим к окончательному
виду:
аτ 
2
 ω0 s
(7)
Уравнения движения, описывающие колебания
таких различных систем, как груз на пружине и
маятник, одинаковы.
Ускорение – это производная скорости по
времени, или вторая производная координаты
по времени.
х 
2
 ω0 х
Вторая производная функции пропорциональна
самой функции, взятой с противоположным
знаком.
Координата тела, совершающего свободные
колебания, меняется с течением времени по
закону синуса или косинуса.
Периодические изменения физической величины
в зависимости от времени по закону синуса или
косинуса
называются
гармоническими
колебаниями.
Решением уравнения колебания будут функции:
х  х m sin(ωi   0 )
х  хm cos(ωo  0 )
хm
- амплитуда колебаний
Амплитудой
гармонических
колебаний
называется модуль наибольшего смещения тела
от положения равновесия.
ω
- циклическая или круговая частота
2π
ω
 2 πν
Т
Число колебаний тела за 2π с.
Т
- период колебаний.
Минимальный промежуток времени, через
который движение тела полностью повторяется,
называют периодом колебаний.
Пружинный маятник
m
Т  2π
k
Математический маятник
Т  2π
l
g
Величина, стоящая под
знаком косинуса или синуса –
называется фазой колебаний.
0
  ω0 t   0
- начальная фаза колебаний.
Начальная фаза определяет смещение тела от
положения равновесия в момент времени t = 0.
Проекция скорости на ось Х есть производная
координаты по времени. Если
х  хm cos(ω0 t   0 )
то
π
υ x  x    ω0 x m sin(ω0 t   0 )  ω0 x m cos(ω0 t   0  )
2
Амплитуда скорости равна υm = ω0x,m,а по фазе
колебания скорости опережают колебания
координаты на π/2.
Проекция ускорения на ось Х есть производная
скорости по времени:
2
а x  υ   ω0 xm cos(ω0 t  0 )
или
2
а x  ω0 xm cos(ω0 t  0
 π)
Амплитуда ускорения равна аm = ω0хm,а по фазе
колебания ускорения опережают колебания
координаты на π.
Полная механическая энергия при колебаниях
груза на пружине равна сумме кинетической и
потенциальной энергий:
2
mυ x
kx
W  Wk  W p 

2
2
2
Свободные колебания груза на пружине или
маятника являются гармоническими лишь тогда,
когда нет трения.
Затухающими
колебаниями
называются
колебания, энергия которых уменьшается с
течением времени.
При затухающих колебаниях движения является
непериодическим.
Свободные колебания всегда затухают за то или
иное время, по этой причине почти никогда не
используются на практике.
Наиболее важное значение имеют колебания
вынужденные.
Маятник – обладающий определенной
собственной частотой.
Резкое возрастание амплитуды вынужденных
колебаний при совпадении частоты изменения
внешней силы, действующей на систему, с
частотой
свободных
колебаний
называется
резонансом.
Литература:
Г.Я. Мякишев, А.З. Синяков –
Физика. Колебания и волны.
Н.М. Шахмаев, С.Н. Шахмаев,
Д.Ш. Шодиев – Физика – 9.
В.М. Яворский, А.А. Детлаф
Справочник по физике.